Hyperarbres et Partitions semi-pointées - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2014

Hypertree and semi-pointed partitions

Hyperarbres et Partitions semi-pointées

Bérénice Delcroix-Oger

Résumé

This thesis is dedicated to the combinatorial, algebraic and homological study of hypertrees and semi-pointed partitions. More precisely, we study algebraic and homological structures built from hypertrees and semi-pointed partitions, which occur naturally in our study. After recalling briefly the notions needed, we use the theory of species of structures, introduced by A. Joyal, to compute the action of the symmetric group on the homology of the hypertree posets, also known as Whitehead poset. This action is the same as the action of the symmetric group linked with the anticyclic structure of the PreLie operad. We refine our computations on a grading of the homology, called Whitney homology.In this study occur formulas related to hypertrees decorated by species. We define the notion of edge-decorated hypertrees before stating functional equations satisfied by these hypertrees. These decorated hypertrees can be described as a special case of R-enriched trees. A one-to-one correspondence of decorated hypertrees with box trees and partitions whose parts are decorated sets enables us to compute a close formula for the cardinality of decorated hypertrees, thanks to a Prüfer code. Some relevant examples are related to known objects. We then generalize decorations of hypertrees by decorating both edges and neighbourhoods of vertices in a hypertree, which gives a combinatorial interpretation of Whitney homology of hypertree posets in terms of bidecorated hypertrees.Moreover, we adapt computation methods of characters on incidence Hopf algebras, introduced by W. Schmitt for families of bounded posets, to families of unbounded posets satisfying some additional properties, called triangle and diamond posets. This relies on the link between the coproduct on a new bialgebra and the coproduct on the incidence Hopf algebra obtained by bounding posets by the addition of a greatest element. After applying these results to the hypertree posets, we give an explicit formula for the coproduct on the obtained bialgebra, involving the number of hypertrees with fixed valencies and edge sizes.Finally, a kind of decorated hypertree, called pointed-edge hypertree, can also be endowed with a partial order. We show that the associated posets are Cohen-Macaulay and compute the dimension of the unique non-vanishing homology group. By studying the associated posets, we unveil a new family of posets: the semi-pointed partition posets, which generalize both partition posets and pointed partition posets. We show the Cohen-Macaulayness of these posets and obtain, thanks to species theory, a closed formula for the dimension of its unique homology group, which extend the ones established for partition posets and pointed partition posets.
Cette thèse est consacrée à l'étude combinatoire, algébrique et homologique des hyperarbres et des partitions semi-pointées. Nous étudions plus précisément des structures algébriques et homologiques construites à partir des hyperarbres, puis des partitions semi-pointées, qui apparaissent naturellement au cours de notre étude.Après un bref rappel des notions utilisées, nous utilisons la théorie des espèces de structure introduite par A. Joyal afin de déterminer l'action du groupe symétrique sur l'homologie du poset des hyperarbres, connu aussi sous le nom de poset de Whitehead. Cette action s'identifie à l'action du groupe symétrique liée à la structure anti-cyclique de l'opérade PreLie. Nous raffinons ensuite nos calculs sur une graduation de l'homologie, appelée homologie de Whitney. Lors de cette étude interviennent des formules semblant décrire des hyperarbres décorés par des espèces. Nous définissons la notion d'hyperarbre aux arêtes décorées par une espèce avant d'établir des équations fonctionnelles vérifiées par ces hyperarbres. Ces hyperarbres décorés peuvent être décrits comme des cas particuliers d'arborescence R-enrichie. Une bijection des hyperarbres décorés avec des arbres en boîtes et des partitions dont les parts sont décorées permet d'obtenir une formule close pour leur cardinal, à l'aide d'un codage de Prüfer. Certains exemples pertinents reliés à des objets connus sont exhibés. Nous généralisons ensuite la décoration des hyperarbres en décorant à la fois les arêtes et le voisinage des sommets de l'hyperarbre, ce qui permet d'obtenir une interprétation combinatoire de l'homologie de Whitney du poset des hyperarbres en terme d'hyperarbres bidécorés.Nous adaptons ensuite les méthodes de calcul de caractères sur les algèbres de Hopf d'incidence, introduites par W. Schmitt dans le cas de familles de posets bornés, à des familles de posets non bornés vérifiant certaines propriétés. Cette adaptation repose sur l'introduction d'une bigèbre formée sur les posets dont nous relions le coproduit au coproduit sur l'algèbre de Hopf d'incidence obtenue en bornant les posets par l'ajout d'un maximum. Nous appliquons ensuite cette adaptation aux posets des hyperarbres. Nous donnons une formule explicite pour le coproduit de la bigèbre associée, qui fait intervenir le cardinal de l'ensemble des hyperarbres dont la taille des arêtes et la valence des sommets sont fixées.Enfin, une sorte d'hyperarbre décoré, appelée hyperarbre aux arêtes pointées, peut être à son tour munie d'un ordre partiel. Nous montrons que ces posets sont Cohen-Macaulay avant de calculer la dimension de l'unique groupe d'homologie non nulle. L'étude de ces posets fait apparaître une généralisation des posets des partitions et des posets des partitions pointées : les poset des partitions semi-pointées. Nous montrons que ces posets sont aussi Cohen-Macaulay, avant de déterminer à l'aide de la théorie des espèces une formule close pour la dimension de l'unique groupe d'homologie non trivial de ces posets.
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Dates et versions

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  • HAL Id : tel-01110557 , version 1

Citer

Bérénice Delcroix-Oger. Hyperarbres et Partitions semi-pointées : Aspects combinatoires, algébriques et homologiques. Combinatoire [math.CO]. Université Claude Bernard Lyon 1, 2014. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-01110557⟩
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