Rigorous algorithms for nonlinear biobjective optimization
Algorithmes rigoureux pour l'optimisation nonlinéaire biobjectif
Résumé
Many problems, such as in engineering design or in location problems, require the optimization
of several conflicting nonlinear objectives subject to nonlinear constraints. Solving a multiob-
jective problem involving m objectives implies computing its set of Pareto-optimal solutions,
that are in general m − 1 dimensional manifolds possibly made of several disjoint connected
components.
In this thesis, we are interested in interval-based rigorous algorithms, i.e. with guaranteed re-
sults, to solve biobjective problems. We propose a certified continuation method that tracks
locally a connected manifold of optimal solutions. This method supplements other techniques
from the literature as it adapts finely to the shape of manifolds and deals with singularities
resulting from inequality constraints in biobjective problems. We also propose an interval
Branch & Bound (B&B) algorithm that globally computes a verified enclosure of the opti-
mal solutions. This method integrates constraint propagation techniques, noticeably exploiting
bounds on the objectives, in order to enhance the solving process. It also generalizes other sim-
ilar approaches from the literature. Eventually, we discuss the perspective of coupling the two
techniques. Such an hybrid approach is promising as the B&B converges globally, but slowly.
It indeed spends many efforts for covering the manifold of solutions, whereas the continuation
is an efficient, but local, technique for building such covering.
L’Optimisation de critères nonlinéaires contradictoires, sous contraintes nonlinéaires, apparaît
dans de nombreux problèmes, par exemple en ingénierie ou dans des problèmes de localisation.
La résolution d’un problème avec m objectifs nécessite de calculer son ensemble de solutions
dites Pareto optimales, formant des variétés continues de dimensions m − 1 potentiellement
morcelées en plusieurs parties disjointes.
Dans cette thèse, nous nous intéressons aux algorithmes rigoureux, i.e. donnant des garanties
de résultats, basés sur l’analyse par intervalle pour la résolution de problèmes biobjectifs. Nous
proposons une méthode de continuation certifiée qui trace localement les variétés continues de
solutions optimales. Cette méthode améliore d’autres techniques similaires de la littérature en
proposant une meilleure adaptation à la forme de la variété tracée, ainsi que la prise en compte
des contraintes d’inégalités du problème sources de singularités. De plus, nous proposons un
algorithme de Branch & Bound (B&B) qui calcule globalement un encadrement vérifié des
solutions optimales. Cette méthode intègre des techniques de propagation de contraintes, ex-
ploitant notamment les bornes sur les objectifs, afin d’accélérer la résolution. Elle généralise
également d’autres approches similaires de la littérature. Enfin, nous discutons la perspective
de coupler ces deux méthodes. Une telle approche est prometteuse dans la mesure où le BB
converge globalement mais lentement. Ceci est dû aux efforts nécessaire pour couvrir totale-
ment les variétés de solutions, tandis que la continuation est une méthode efficace, mais locale,
pour effectuer ce travail.
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