$p$-adic precision
Précision $p$-adique
Résumé
p-adic numbers, introduced a little more than one century ago by Kurt Hensel, can be seen as an analog of the real numbers allowing the application of analytic methods to problems of arithmetic nature. With the advent during the last few decades of scientific computation, computer algebra (symbolic computation) and arithmetic geometry, algorithms using numerically the p-adic numbers have been developed with very diverse applications (factorization in polynomial rings, point-counting on hyperelliptic curves defined over finite fields, and so on).
The first part of this thesis propounds a method, the so-called differential precision, to handle the precision during such algorithms. The essential idea is that precision in this context can be ruled by first-order approximation.
The second part of this thesis covers the following question: which Gröbner can be computed (with finite precision) over a p-adic field? To answer this question, we study the stability of Gröbner bases computation through direct methods, with a change-of-basis algorithm and using tropical methods.
Les nombres p-adiques, introduits il y a un peu plus d'un siècle par Kurt Hensel, peuvent être vus comme un analogue des nombres réels permettant d'appliquer des méthodes de nature analytique à des problèmes arithmétiques. Avec l'avènement ces dernières décennies du calcul scientifique, du calcul formel puis de la géométrie arithmétique, des algorithmes utilisant numériquement les nombres p-adiques ont été développés avec des applications diverses (factorisation dans des anneaux de polynômes, comptage de point sur des courbes hyperelliptiques définis sur des corps finis,...).
La première partie de cette thèse propose une méthode, dite de la précision différentielle, pour gérer la précision pour de tels algorithmes. Elle montre essentiellement que la précision est gouvernée par les approximations au premier ordre.
La seconde partie de cette thèse s'intéresse à la question suivante : quelles bases de Gröbner peuvent être calculées (à précision finie) sur un corps p-adique ? Pour y répondre, nous étudions la stabilité du calcul des bases de Gröbner par un calcul direct, par un algorithme de changement d'ordre et grâce à une méthode tropicale.
Fichier principal
these1.pdf (1.74 Mo)
Télécharger le fichier
err_cumulee.pdf (12.32 Ko)
Télécharger le fichier
err_padique.pdf (20.25 Ko)
Télécharger le fichier
err_reelle.pdf (18.8 Ko)
Télécharger le fichier
erreur_derivee_directe.pdf (16.36 Ko)
Télécharger le fichier
erreur_derivee_directe_comparee.pdf (15.45 Ko)
Télécharger le fichier
erreur_derivee_directe_padique.pdf (19.46 Ko)
Télécharger le fichier