Some homological algebra computations in the category of unstable modules
Algèbre homologique dans la catégorie des modules instables.
Résumé
The aim of this work is to study injective resolutions of certain objects in the category U of unstable modules. More precisely, we concentrate on the minimal injective resolution of the module F(1) as well as ones of the cohomology of spheres ΣnF2.For that purpose, the pseudo-hyper resolution is introduced, allowing to construct an explicit resolution of an unstable module from an acyclic sequence admitting this module as its first homology. This construction and the hyper resolution do look alike but are not identical. In our situation, we consider the sequence without splitting it into short exact sequences to avoid unnecessary concerns about the differentials. Placing the resolutions of each term in the sequence together, we obtain a fake double complex. Fortunately, the injectivity of modules in this double complex allow us to insert enough differentials that make the total sequence a complex. This complex is indeed the resolution for the considered module. To deal with the particular cases of ΣnF2, the pseudo-hyper resolution wil be translated into the algorithm BG. Together with this procedure, the Bockstein sequence gives a simple description on a large part of the minimal injective resolution of ΣnF2.The minimal injective resolution of F(1) is too much to deal with. Few results on this matter have been known. Luckily the nilpotent part of this resolution is quite accessible. Using the computations on the derived functors `∗(F(1)) and the groupes Ext we first show that this part is periodic and then give a simple description for several terms. These are crucial to show that the natural map ExtrU (ΦnF(1),ΦnF(1)) → ExtrU Φn+1F(1),Φn+1F(1) is injective in many cases.The work is also decorated with a new elemenatary proof on the characterization of the Krull filtration and a fully faithful embedding from the category Pd to the category U.
Cette thèse présente des calculs d’algèbre homologique dans la catégorie des modules instables. Dans le premier chapitre, on rappelle des généralités sur cette catégorie, parmi elles le théorème de la caractérisation de la filtration de Krull grâce au foncteur de Lannes. En utilisant la théorie des représentations, Schwartz a démontré ce théorème dans les années 90s. Au cours du chapitre, on donne une preuve élémentaire de ce théorème. Une méthode efficace pour construire des résolutions à partir des suites exactes dans cette catégorie y est introduite ainsi. On l’appelle pseudo-hyper résolution. La catégorie des foncteurs polynomiaux stricts homogènes de degré fini a été reliée avec la catégorie des modules instables d’après les travaux de Hai en 2010. Le foncteur connectant ces deux catégories est nommé d’après lui. On montre dans le deuxième chapitre que ce foncteur est pleinement fidèle, permettant de considérer la catégorie des foncteurs polynomiaux stricts homogènes de degré fini comme une sous-catégorie pleine de la catégorie des modules instables. Le chapitre 3 est consacré pour étudier les résolutions injectives minimales des cohomologies de sphères. On montre que le morphisme à la Bockstein permet de déterminer une grande partie de ces résolutions. Dans le dernier chapitre, on étudie l’action de la torsion de Frobenius sur les groupes d’extensions. Ceci amène à étudier la résolution injective minimale du module F(1), étant générateur projectif monogène engendré par un élément de degré 1. De l’information partielle de la partie nilpotente de cette résolution est donnée à la fin du chapitre.
Domaines
Topologie algébrique [math.AT]| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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