Parameter estimation on Lie groups: Application to mapping and localization from a monocular camera
Estimation de paramètres évoluant sur des groupes de Lie : Application à la cartographie et à la localisation d'une caméra monoculaire
Résumé
In this thesis, we derive novel parameter estimation algorithms
dedicated to parameters evolving on Lie groups. These algorithms are casted in a
Bayesian formalism, which allows us to establish a notion of uncertainty for the
estimated parameters. To do so, a generalization of the multivariate normal
distribution to Lie groups, called concentrated normal distribution on Lie groups, is
employed.
In a first part, we generalize the Continuous-Discrete Extended Kalman Filter (CD-EKF), as well as the Discrete Extended Kalman Filter (D-EKF), to the case where the
state and the observations evolve on Lie groups. We obtain two novel algorithms
called Continuous-Discrete Extended Kalman Filter on Lie Groups (CD-LG-EKF) and
Discrete Extended Kalman Filter on Lie Groups (D-LG-EKF).
In a second part, we focus on bridging the gap between the formulation of intrinsic
non linear least squares criteria and Kalman filtering/smoothing on Lie groups. We
propose a generalization of the Euclidean Iterated Extended Kalman Filter (IEKF) to
Lie groups, called LG-IEKF. We also derive a generalization of the Rauch-Tung-
Striebel smoother (RTS), also known as Extended Kalman Smoother, to Lie groups,
called LG-RTS.
Finally, the concepts and algorithms presented in the thesis are employed in a series
of applications. Firstly, we propose a novel simultaneous localization and mapping
approach. Secondly we develop an indoor camera localization framework. For this
latter purpose, we derived a novel Rao-Blackwellized particle smoother on Lie
groups, which builds upon the LG-IEKF and the LG-RTS.
Dans ce travail de thèse, nous proposons plusieurs algorithmes
permettant d'estimer des paramètres évoluant sur des groupes de Lie. Ces
algorithmes s’inscrivent de manière générale dans un cadre bayésien, ce qui nous
permet d'établir une notion d'incertitude sur les paramètres estimés. Pour ce faire,
nous utilisons une généralisation de la distribution normale multivariée aux groupes
de Lie, appelée distribution normale concentrée sur groupe de Lie.
Dans une première partie, nous nous intéressons au problème du filtrage de Kalman
à temps discret et continu-discret où l’état et les d’observations appartiennent à des
groupes de Lie. Cette étude nous conduit à la proposition de deux filtres ; le CD-LG-
EKF qui permet de résoudre un problème à temps continu-discret et le D-LG-EKF qui
permet de résoudre un problème à temps discret.
Dans une deuxième partie, nous nous inspirons du lien entre optimisation et filtrage
de Kalman, qui a conduit au développement du filtrage de Kalman étendu itéré sur
espace euclidien, en le transposant aux groupes de Lie. Nous montrons ainsi
comment obtenir une généralisation du filtre de Kalman étendu itéré aux groupes de
Lie, appelée LG-IEKF, ainsi qu’une généralisation du lisseur de Rauch-Tung-Striebel
aux groupes de Lie, appelée LG-RTS.
Finalement, dans une dernière partie, les concepts et algorithmes d’estimation sur
groupes de Lie proposés dans la thèse sont utilisés dans le but de fournir des
solutions au problème de la cartographie d'un environnement à partir d'une caméra
monoculaire d'une part, et au problème de la localisation d'une caméra monoculaire
se déplaçant dans un environnement préalablement cartographié d'autre part.
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