Gabidulin codes in characteristic 0. Application to space-time coding.
Codes de Gabidulin en caractéristique nulle. Application au codage espace-temps.
Résumé
Space-time codes are error correcting codes dedicated to MIMO transmissions.
Mathematically, a space-time code is a finite family of complex matrices.
Its preformances rely on several parameters, including its minimal rank distance.
Gabidulin codes are codes in this metric,
famous for their optimality and for their efficient decoding algorithms.
That is why they are used to design space-time codes.
The main difficulty is to design complex matrices from binary matrices.
Our objective is to generalize Gabidulin codes to number fields,
in order to design space-time codes.
The aim of the works collected here is to study Gabidulin codes
generelized to infinite fields.
We see that for cyclic extensions,
they have the same properties as Gabidulin codes over finite fields.
We study several errors and erasures models
and introduce a quadratic algorithm to recover transmitted information.
When computing in finite fields, we are faced with the growing size problem.
Indeed, the size of the coefficients grows exponentielly along the algorithm.
To avoid this problem, it is possible to reduce the code, in order to compute in a finite field.
Finally, we design a family of space-time codes,
based on generalized Gabidulin codes.
We see that our codes have performances similar to those of existing codes,
and that they have an additional structure.
Les codes espace-temps sont des codes correcteurs dédiés aux transmissions MIMO.
Mathématiquement, un code espace-temps est un ensemble fini de matrices complexes.
Ses performances dépendent de plusieurs critères, dont la distance minimale en métrique rang.
Les codes de Gabidulin sont des codes correcteurs dans cette métrique,
connus pour leur optimalité et pour l'existence d'algorithmes de décodage efficaces.
C'est pourquoi ils sont utilisés pour concevoir des codes espace-temps.
La principale difficulté est alors de construire des matrices complexes à partir de matrices binaires.
Notre but est de généraliser les codes de Gabidulin à des corps de nombres,
afin de pouvoir construire directement des codes espace-temps.
Les travaux présentés dans ce document consistent à étudier les codes de Gabidulin
généralisés à des corps infinis.
Nous verrons que, pour des extensions cycliques,
ils ont les mêmes propriétés que leurs analogues sur les corps finis.
Nous étudierons plusieurs modèles d'erreurs et d'effacements
et présenterons un algorithme qui permettra de retrouver
l'information transmise avec une complexité quadratique.
En calculant dans des corps infinis, nous serons confrontés au problème de la taille des éléments,
qui augmente exponentiellement au gré des calculs. Pour éviter ce désagrément,
nous verrons qu'il est possible de réduire le code afin de calculer dans un corps fini.
Enfin, nous proposerons une famille de codes espace-temps
dont la construction est basée sur les codes de Gabidulin généralisés.
Nous verrons que leurs performances sont similaires à celles des codes existants,
et qu'ils disposent d'une structure supplémentaire.