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Thèse Année : 2015

Mathematical modeling in Neuroscience

Modélisation mathématique en neuroscience

Cristóbal Quiñinao
  • Fonction : Auteur
  • PersonId : 963347

Résumé

This work is devoted to the study of mathematical questions arising from the modeling of biological systems combining analytic and probabilistic tools. It is principally related to: (1) the mathematical modeling and analysis of neuronal networks, (2) the role of homeoproteins di usion in morphogenesis, and (3) the chaos propagation property for a particle system for a subcritical Keller-Segel equation. The first part is concerned with the chaos propagation and long time behaviour of the solutions of some mean-field equations. More precisely, to the derivation of the mean-field equations related to neuronal networks, and the study of the convergence to the equilibria of the solutions to those limit equations. First, in Chapter 2, the coupling method is used to prove the chaos propagation for a neuronal network with delays and random architecture. The main novelty is to consider the delays and the synaptic weights correlated, which is the case of biological networks where the anatomically close neurons are strongly connected. It is found, in the case of a ring rate dynamic, that the level of connectivity plays a remarkable role in the emergence of synchronized oscillatory solutions. In Chapter 3, a kinetic FitzHugh- Nagumo equation is considered. The existence of solutions to this equation is analyzed and, by using a perturbation argument, it is proved the nonlinear exponential convergence of the solutions in the weak connectivity regime. Finally, by using the uniqueness of weak solutions, the chaos propagation property is justi ed. It has to be remarked that the coecients of the mean-field equation are not globally Lipschitz, which, in particular, improve the classical results. Moreover, the differential operator is hypodissipative: an argument of semigroup decomposition is used to prove the convergence of the linear equation. The second part is related to the study of the role of homeoproteins (HPs) on the robustness of boundaries of functional areas. The HPs are transcriptional factors of developmental gens, known for having a non-autonomous activity and the possibility to express themselves and to diffuse towards neighbouring cells. In Chapter 4, it is proposed, based on two classical theories of morphogenesis, a general model for neuronal development. The model describes the competition between two HPs with weak diffusivity. By the analysis of the stationary solutions in the autonomous case, it is demonstrated that in the absence of diffusion, the HPs are expressed on irregular areas. But in presence of diffusion, even arbitrarily small, boundaries well defined emerge. In Chapter 5, a more general model in the one dimensional case is considered where the existence of monotonic stationary solutions de ning a unique intersection point can be showed. Moreover, when the di usivity coecient goes to zero, it is proved that the stationary solutions converge to a unique solution of an autonomous dynamical system with a unique discontinuity point. This discontinuity point is characterised as the only spatial point where the speed of a particular traveling wave is zero. Finally, in the third part, a particle system for a subcritical Keller-Segel equation is the object of study. It is shown the chaos propagation without any restriction on the force kernel. Moreover, by using the notion of renormalised solutions of PDEs, it is demonstrated that the propagation of chaos is in the stronger sense of entropic chaos propagation.
Ce travail est consacre a l'etude de quelques questions mathematiques issues de la modelisation des systemes biologiques en combinant des outils analytiques et probabilistes. Il est principalement lie a: (1) la modelisation mathematique et l'analyse des reseaux neuronaux, (2) le role de la diffusion des homeoproteines dans la morphogenese et (3) la propriete de propagation du chaos pour un systeme de particules pour une equation de Keller-Segel sous-critique. Dans la premiere partie, nous nous interessons a la propagation du chaos et au comportement en temps long des solutions des equations de champ moyen. Plus precisement, nous nous interessons a la derivation des equations de champ moyen associees aux reseaux de neurones, ainsi qu'a l'etude de la convergence vers l'equilibre des solutions des equations limites. Tout d'abord, dans le Chapitre 2, nous utilisons la methode de couplage pour demontrer la propagation du chaos pour un reseaux neuronal avec delais et avec une architecture aleatoire. La principale nouveaute est de considerer delais et poids synaptiques correles, comme ceci est le cas dans les reseaux biologiques ou les neurones proches anatomiquement sont plus fortement connectes. Ceci nous permet de montrer, dans le cas d'une dynamique de type taux de decharge, que le niveau de connectivite joue un role remarquable dans l'emergence de solutions oscillantes synchonisees. Dans le Chapitre 3, nous considerons une equation cinetique du type FitzHugh-Nagumo. Nous analysons l'existence de solutions a cette equation et, en utilisant un argument de perturbation, prouvons la convergence exponentielle de l'equation non lineaire dans les regimes de faible connectivite. En n, en utilisant l'unicite de la solution faible, nous justi ons la propagation du chaos. Il est a noter que les coecients de l'equation de champ moyen ne sont pas globalement Lipschitziens, ce qui ameliore en particulier les resultats classiques. En outre, l'operateur di erentiel est hypodissipatif: nous utilisons un argument de decomposition du semigroupe pour prouver la convergence de l'equation linfaire. Dans la deuxieme partie, nous etudions le role des homeoproteines (HPs) sur la robustesse des bords des aires fonctionnelles. Les HPs sont des facteurs de transcription des genes du developpement connus pour avoir une activite non-autonome et la possibilite de se faire exprimer dans les cellules voisines par di usion. Dans le Chapitre 4, nous proposons, sur la base de deux theories classiques de la morphogenese, un modele general du developpement neuronal. Le modele decrit la competition entre deux HPs avec faible diffusion. Par l'analyse des solutions stationnaires dans le cas autonome, nous prouvons qu'en l'absence de diffusion, les HPs sont exprimees di erentiellement dans des regions irregulieres. Mais en pressence de diffusion, meme arbitrairement faible, des frontieres bien definies entre les di erentes zones fonctionnelles emergent. Dans le Chapitre 5, nous considerons le modele general dans le cas unidimensionnel et prouvons l'existence de solutions stationnaires monotones de nissant un point d'intersection unique aussi faible que soit le coecient de di usion. De plus, quand le coecient de diffusion tend vers zero, nous prouvons que les solutions stationnaires convergent vers une solution d'un systeme dynamique autonome qui a un unique point de discontinuite caracterise comme l'unique point de l'espace ou la vitesse d'une onde progressive particuliere s'annule. Enfin, dans la troisieme partie, nous etudions un systeme de particules pour une equation de Keller- Segel sous-critique. Nous demontrons la propagation du chaos sans aucune restriction sur le noyau de force. En outre, en utilisant la notion de solutions de renormalisation pour les EDP, nous demontrons que la propagation du chaos a lieu dans le sens plus fort de chaos entropique.
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Dates et versions

tel-01312230 , version 1 (05-05-2016)

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  • HAL Id : tel-01312230 , version 1

Citer

Cristóbal Quiñinao. Mathematical modeling in Neuroscience: Collective behavior of neuronal networks & the role of local homeoproteins diffusion in morphogenesis. Analysis of PDEs [math.AP]. Université Pierre et Marie Curie (Paris VI), 2015. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-01312230⟩
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