Phase transitions on complex networks
Transitions de phase dans les réseaux complexes
ФАЗОВI ПЕРЕХОДИ НА СКЛАДНИХ МЕРЕЖАХ
Résumé
The thesis is devoted to the investigation of the critical behavior of spin models on a scale-free
network with a power-law node-degree probability distribution P(k) ∼ k^(-λ),, in presence of quenched
or annealed disorder, and on a complete graph. For the Potts model on a scale-free network in terms
of inhomogeneous mean-field approach we found the set of critical exponents, critical amplitude ratios
and scaling functions, which appear to be dependent on the probability distribution decay exponent
λ. In that sense λ is manifested to be one of the global parameters which define the universality
class. Along with the traditional theory of complex networks by inhomogeneous mean-field method,
we use for the first time the method of partition function zeros analysis in the complex plane. Unusual
behavior was observed for a number of universal features, such as the angle of Fisher zeros condensation
φ and the exponent σ which appear to be λ -dependent. We also observe that the Lee-Yang circle
theorem is violated in the region 3 < λ < 5 for the Ising model on an annealed scale-free network.
Cette thèse est consacrée `a l'étude du comportement critique de modèles de spins sur réseau
invariant d’échelle caractérisés par une distribution de probabilité de la coordination k des sites en
P(k) ∼ k^(-λ), en présence de désordre trempé ou recuit ainsi que sur graphe complet. Pour le modèle
de Potts sur réseau invariant d’échelle, nous avons obtenu à l’aide d’une approche de champ moyen
inhomogène l’ensemble des exposants critiques, des rapports d’amplitudes critiques et des fonctions
d’échelle qui se révélent dépendantes de l’exposant de décroissance λ. Dans ce sens, λ apparaît comme
l’un des paramètres globaux qui déterminent la classe d’universalit´e. A côté de la méthode traditionnelle
du champ moyen inhomogène pour traiter les systèmes sur réseau complexe, nous utilisons, pour
la première fois dans ce contexte, les zéros de la fonction de partition dans le plan complexe. Un
comportement inhabituel a été obtenu pour un certain nombre de grandeurs telles que l’angle de
condensation φ des zéros de Fisher et l’exposant σ qui s’avèrent tous deux dépendants de λ. Nous
observons également que le théorème du cercle de Lee et Yang est violé dans la région 3 < λ < 5 pour
le modèle d’Ising sur un réseau invariant d’échelle recuit.
Дисертацiйна робота присвячена дослiдженню критичної поведiнки спiнових моделей на
безмасштабних мережах зi степенево-спадною функцiєю розподiлу ступенiв вузлiв P(k) ∼ k^(-λ),
при наявностi замороженого чи вiдпаленого безладу, та на повному графi. Для моделi Поттса на
безмасштабнiй мережi у наближеннi неоднорiдного середнього поля знайдено критичнi показники,
вiдношення амплiтуд, скейлiнговi функцiї, що виявляються залежними вiд показника загасання
функцiї розподiлу λ. Таким чином λ виявляється одним iз глобальних параметрiв, що визначає
клас унiверсальностi. Поряд iз традицiйним методом неоднорiдного середнього поля вперше
у теорiї складних мереж використано метод аналiзу нулiв статистичної суми в комплекснiй
площинi. Виявлено незвичну поведiнку ряду унiверсальних характеристик, а саме кут конденсацiї
нулiв Фiшера φ та показник σ виявляються λ-залежними. Також ми спостерiгаємо порушення
теореми Лi-Янга про одиничне коло в дiапазонi 3 < λ < 5 для моделi Iзiнга на вiдпаленiй
безмасштабнiй мережi.
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