Mechanical modeling and numerical methods for poromechanics : Application to myocardium perfusion
Modélisation mécanique et méthodes numériques pour la poromécanique : Applications à la perfusion du myocarde
Résumé
This thesis is dedicated to the development of numerical methods for poromechanics, and to their application in a cardiac modeling context. It is motivated by the introduction into existing cardiac models of the coronary network that perfuses the myocardium, to better describe coronary vascular diseases.Drawing our inspiration from existing works, we propose a perfused heart model, and a 0D reduction allowing the cost-effective reproduction of a realistic cardiac cycle with perfusion mass and pressure. The model derived illustrates physiological phenomena inaccessible in former models, and with great clinical application potential, such as vasodilatation and coronary diseases.The integration of a porous compartment to represent the perfused myocardium within 3D models is more challenging. Relying on splitting time schemes established for fluid-structure interaction to model blood vessels, we propose a semi-implicit discretization of a general poromechanics formulation, satisfying a discrete energy balance. In order to illustrate and validate our approach, we reproduce in the finite element software FreeFem++ classical swelling and drainage 2D test cases, and we monitor the discrete energy balance.Finally, motivated by the study of spatial discretization aspects of our problem, we establish in a linear framework a conditional total convergence result. This enables us to propose a computational method easy to implement and presenting good stability results. FreeFem++ enables us again to validate our results, illustrating numerical pathologies associated with incompressibility, and their efficient treatment with the proposed strategies, first in a linear framework and then in a more general situation.
Cette thèse est dédiée au développement de méthodes numériques pour la poromécanique, et à leur application dans un contexte de modélisation cardiaque.Elle est motivée par la prise en compte, dans les modèles de coeur humain, du réseau coronarien qui perfuse le myocarde, afin de mieux décrire les maladies vasculaires coronariennes.Nous appuyant sur des travaux existants, nous proposons un modèle de coeur perfusé, ainsi qu'une réduction 0D permettant de reproduire, à moindre coût de calcul, un cycle cardiaque réaliste avec masse et pression de perfusion. Le modèle mis au point nous permet de reproduire des phénomènes physiologiques auparavant inaccessibles dans les modèles, et d'une grande importance pour des applications cliniques, tels que la vasodilatation et les pathologies coronariennes.L'intégration d'un compartiment poreux pour représenter le myocarde perfusé dans les modèles 3D représente un défi technique d'un autre ordre. Nous inspirant des schémas en temps de type splitting établis en interaction fluide-structure pour modéliser les vaisseaux sanguins, nous proposons une discrétisation semi-implicite d'une formulation générale de poromécanique, satisfaisant un bilan d'énergie au niveau discret. Afin d'illustrer et valider notre démarche, l'environnement de calcul élément finis FreeFem++ nous permet de reproduire des cas tests classiques de gonflement et de drainage de milieux poreux en 2D, puis de vérifier le bilan énergétique discret.Enfin, motivés par l'étude de la discrétisation spatiale de notre problème, nous établissons dans un cadre linéaire un résultat de convergence totale du schéma sous conditions. Cela nous permet de proposer une méthode d'implémentation facile à mettre en oeuvre et présentant de bons résultats de stabilité. FreeFem++ nous permet à nouveau de valider nos résultats en illustrant les pathologies numériques associées à l'incompressibilité, et leur traitement efficace par les stratégies proposées, dans le cadre linéaire puis dans une situation plus générale.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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