Geometric statistics for computational anatomy
Statistiques géométriques pour l'anatomie numérique
Résumé
This thesis develops Geometric Statistics to analyze the normal andpathological variability of organ shapes in Computational Anatomy. Geometricstatistics consider data that belong to manifolds with additional geometricstructures. In Computational Anatomy, organ shapes may be modeled asdeformations of a template - i.e. as elements of a Lie group, a manifold with agroup structure - or as the equivalence classes of their 3D configurations underthe action of transformations - i.e. as elements of a quotient space, a manifoldwith a stratification. Medical images can be modeled as manifolds with ahorizontal distribution. The contribution of this thesis is to extend GeometricStatistics beyond the now classical Riemannian and metric geometries in orderto account for these additional structures. First, we tackle the definition ofGeometric Statistics on Lie groups. We provide an algorithm that constructs a(pseudo-)Riemannian metric compatible with the group structure when itexists. We find that some groups do not admit such a (pseudo-)metric andadvocate for non-metric statistics on Lie groups. Second, we use GeometricStatistics to analyze the algorithm of organ template computation. We show itsasymptotic bias by considering the geometry of quotient spaces. We illustratethe bias on brain templates and suggest an improved algorithm. We then showthat registering organ shapes induces a bias in their statistical analysis, whichwe offer to correct. Third, we apply Geometric Statistics to medical imageprocessing, providing the mathematics to extend sub-Riemannian structures,already used in 2D, to our 3D images
Cette thèse développe les statistiques géométriques pour l'analyse de lavariabilité normale et pathologique des formes d'organe en anatomienumérique. Les statistiques géométriques s’intéressent aux données issues devariétés avec structures géométriques additionnelles. En anatomie numérique,les formes d'un organe peuvent être vues comme des déformations d'un organede référence - i.e. comme éléments d'un groupe de Lie, une variété avec unestructure de groupe - ou comme les classes d'équivalence de leur configuration3D sous l'action de transformations - i.e. comme éléments d'un quotient, unevariété avec une stratification. Les images médicales peuvent êtrereprésentées par des variétés avec une distribution horizontale. Lacontribution de cette thèse est d'étendre les statistiques géométriques au delàdes géométries riemanniennes ou métriques maintenant classiques pourprendre en compte des structures additionnelles. Premièrement, nousdéfinissons les statistiques géométriques sur les groupes de Lie. Nousproposons une construction algorithmique de (pseudo-)métriqueRiemannienne, compatible avec la structure de groupe, lorsqu'elle existe. Noustrouvons que certains groupes n'admettent pas de telle (pseudo-)métrique etdéfendons l'idée de statistiques non-métriques sur les groupes de Lie. Ensuite,nous utilisons les statistiques géométriques pour analyser l'algorithme decalcul d'organe de référence, reformulé avec des espaces quotient. Nousmontrons son biais et suggérons un algorithme amélioré. Enfin, nousappliquons les statistiques géométriques au traitement d'images, engénéralisant les structures sous-Riemanniennes, utilisées en 2D, au 3D
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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