Geometric Statistics for Computational Anatomy
Les statistiques géométriques pour l'anatomie numérique
Résumé
This thesis develops Geometric Statistics to analyze the normal and
pathological variability of organ shapes in Computational Anatomy. Geometric
statistics consider data that belong to manifolds with additional geometric
structures. In Computational Anatomy, organ shapes may be modeled as
deformations of a template - i.e. as elements of a Lie group, a manifold with a
group structure - or as the equivalence classes of their 3D configurations under
the action of transformations - i.e. as elements of a quotient space, a manifold
with a stratification. Medical images can be modeled as manifolds with a
horizontal distribution. The contribution of this thesis is to extend Geometric
Statistics beyond the now classical Riemannian and metric geometries in order
to account for these additional structures. First, we tackle the definition of
Geometric Statistics on Lie groups. We provide an algorithm that constructs a
(pseudo-)Riemannian metric compatible with the group structure when it
exists. We find that some groups do not admit such a (pseudo-)metric and
advocate for non-metric statistics on Lie groups. Second, we use Geometric
Statistics to analyze the algorithm of organ template computation. We show its
asymptotic bias by considering the geometry of quotient spaces. We illustrate
the bias on brain templates and suggest an improved algorithm. We then show
that registering organ shapes induces a bias in their statistical analysis, which
we offer to correct. Third, we apply Geometric Statistics to medical image
processing, providing the mathematics to extend sub-Riemannian structures,
already used in 2D, to our 3D images.
Cette thèse développe les statistiques géométriques pour l'analyse de la
variabilité normale et pathologique des formes d'organe en anatomie
numérique. Les statistiques géométriques s’intéressent aux données issues de
variétés avec structures géométriques additionnelles. En anatomie numérique,
les formes d'un organe peuvent être vues comme des déformations d'un organe
de référence - i.e. comme éléments d'un groupe de Lie, une variété avec une
structure de groupe - ou comme les classes d'équivalence de leur configuration
3D sous l'action de transformations - i.e. comme éléments d'un quotient, une
variété avec une stratification. Les images médicales peuvent être
représentées par des variétés avec une distribution horizontale. La
contribution de cette thèse est d'étendre les statistiques géométriques au delà
des géométries riemanniennes ou métriques maintenant classiques pour
prendre en compte des structures additionnelles. Premièrement, nous
définissons les statistiques géométriques sur les groupes de Lie. Nous
proposons une construction algorithmique de (pseudo-)métrique
Riemannienne, compatible avec la structure de groupe, lorsqu'elle existe. Nous
trouvons que certains groupes n'admettent pas de telle (pseudo-)métrique et
défendons l'idée de statistiques non-métriques sur les groupes de Lie. Ensuite,
nous utilisons les statistiques géométriques pour analyser l'algorithme de
calcul d'organe de référence, reformulé avec des espaces quotient. Nous
montrons son biais et suggérons un algorithme amélioré. Enfin, nous
appliquons les statistiques géométriques au traitement d'images, en
généralisant les structures sous-Riemanniennes, utilisées en 2D, au 3D.
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