Some aspects of the Fisher-KPP equation and the branching Brownian motion
Quelques aspects de l’équation Fisher-KPP et du mouvement brownien branchant
Résumé
The Fisher-Kolmogorov, Petrovski, Piscounov equation (FKPP) is a deterministic partial differential equation.
It describes the evolution of an invasion front from a stable phase into an unstable phase. Branching Brownian
motion (BBM) is a stochastic Markov process where particles diffuse and duplicate. Both the FKPP equation
and the BBM can be seen as modelling the evolution of a population, but the former is deterministic and with
saturation, while the latter is stochastic and without saturation. They are however directly related to each
other by McKean’s duality.
In this dissertation, after a brief review of classical and essential results concerning the FKPP equation and
the BBM, I present some of the contributions my collaborators and I have made to this field.
A first set of results concerns the asymptotic position of the FKPP front; on two well-chosen models in the
FKPP class, I present two different ways to recover the classical results of Bramson and the prediction by Ebert
and van Saarloos. I also make a prediction for the next order term.
A second set of results concerns the limiting distribution of the rightmost particles in the BBM. As we found
out, they are distributed according to a so-called “randomly shifted σ-decorated exponential Poisson point
process”, which we define and characterize. These results were mostly obtained by using the duality between
the BBM and the FKPP equation.
A last set of results concerns the behaviour of noisy FKPP fronts in the limit of a weak noise. I present
a phenomenological theory which allows to compute, to leading order, all the cumulants of the position. Fur-
thermore, in models for which it makes sense, the genealogical tree of the population is given by a rescaled
Bolthausen-Sznitman coalescent.
L’équation de Fisher-Kolmogorov, Petrovski, Piscounov (FKPP) est une équation déterministe aux dérivées
partielles. Elle décrit l’évolution d’un front avec une phase stable qui envahit une phase instable. Le mouve-
ment brownien branchant (BBM) est un processus aléatoire de Markov avec des particules qui diffusent et se
reproduisent. L’équation FKPP et le BBM peuvent tous deux être vus comme une modélisation de l’évolution
d’une population, mais la première est déterministe et avec saturation, alors que le second est aléatoire et sans
saturation. Ils sont néanmoins tous les deux reliés par la dualité de McKean.
Dans ce mémoire, après un rappel rapide de résultats classiques et essentiels concernant l’équation FKPP
et le BBM, je présente plusieurs des résultats que mes collaborateurs et moi avons obtenus.
Une première série de résultats concerne la position asymptotique d’un front FKPP ; sur deux modèles bien
choisis dans la classe FKPP, je présente deux méthodes différentes pour retrouver les résultats classiques de
Bramson et la prédiction d’Ebert et de van Saarloos. Je fais également une prédiction pour le terme d’ordre
suivant.
Une deuxième série de résultats concerne la distribution limite des particules les plus à droite dans le BBM.
Comme nous l’avons mis en évidence, elles sont distribuées selon ce qu’on peut appeler un « processus de
Poisson exponentiel σ-décoré et aléatoirement décalé », que nous définissons et caractérisons. Ces résultats ont
essentiellement été obtenus en utilisant la dualité entre le BBM et l’équation FKPP.
La dernière série de résultats concerne le comportement des fronts FKPP bruités dans la limite des faibles
bruits. Je présente une théorie phénoménologique qui permet de calculer, à l’ordre dominant, tous les cumulants
de la position. De plus, dans les modèles pour lesquels la question fait sens, l’arbre généalogique de la population
est donné sur la bonne échelle de temps par le coalescent de Bolthausen-Sznitman.