Algorithms for integer factorization and discrete logarithms computation
Algorithmes pour la factorisation d'entiers et le calcul de logarithme discret
Résumé
In this thesis, we study the problems of integer factorization and discrete
logarithm computation in finite fields. First, we study the ECM algorithm
for integer factorization and present a method to analyze the elliptic
curves used in this algorithm by studying the Galois properties of division
polynomials.
Then, we present in detail the NFS algorithm for integer factorization and we
study in particular the polynomial selection step for which we propose
improvements of existing algorithms.
Next, we present two algorithms for computing discrete logarithms in finite
fields: NFS-DL and FFS. We also give some details of two computations of
discrete logarithms carried out during this thesis, one with NFS-DL and the
other with FFS.
Finally, we study a common step of the NFS algorithm for integer factorization
and the NFS-DL and FFS algorithms for discrete logarithm computations: the
filtering step. We study this step thoroughly and present an improvement for
which we study the impact using data from several computations of discrete
logarithms and factorizations.
Dans cette thèse, nous étudions les problèmes de la factorisation d'entier et
de calcul de logarithme discret dans les corps finis. Dans un premier temps,
nous nous intéressons à l'algorithme de factorisation d'entier ECM et
présentons une méthode pour analyser les courbes elliptiques utilisées dans
cet algorithme en étudiant les propriétés galoisiennes des polynômes de
division.
Ensuite, nous présentons en détail l'algorithme de factorisation d'entier
NFS, et nous nous intéressons en particulier à l'étape de sélection
polynomiale pour laquelle des améliorations d'algorithmes existants sont
proposées.
Puis, nous présentons les algorithmes NFS-DL et FFS pour
le calcul de logarithme discret dans les corps finis. Nous donnons aussi des
détails sur deux calculs de logarithme discret effectués durant cette thèse,
l'un avec NFS-DL et l'autre avec FFS.
Enfin, nous étudions une étape commune à l'algorithme NFS pour la
factorisation et aux algorithmes NFS-DL et FFS pour le calcul de logarithme
discret: l'étape de filtrage. Nous l'étudions en détail et nous présentons
une amélioration dont nous validons l'impact en utilisant des données
provenant de plusieurs calculs de factorisation et de logarithme discret.
Domaines
Cryptographie et sécurité [cs.CR]
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