Discrete Laplace--Beltrami Operator on digital surfaces
Opérateur de Laplace-Beltrami discret sur les surfaces digitales
Résumé
The central issue of this thesis is the development of a discrete Laplace--Beltrami operator on digital surfaces. These surfaces come from the theory of discrete geometry, i.e. geometry that focuses on subsets of relative integers. We place ourselves here in a theoretical framework where digital surfaces are the result of an approximation, or discretization process, of an underlying smooth surface. This method makes it possible both to prove theorems of convergence of discrete quantities towards continuous quantities, but also, through numerical analyses, to experimentally confirm these results. For the discretization of the operator, we face two problems: on the one hand, our surface is only an approximation of the underlying continuous surface, and on the other hand, the trivial estimation of geometric quantities on the digital surface does not generally give us a good estimate of this quantity. We already have answers to the second problem: in recent years, many articles have focused on developing methods to approximate certain geometric quantities on digital surfaces (such as normals or curvature), methods that we will describe in this thesis. These new approximation techniques allow us to inject measurement information into the elements of our surface. We therefore use the estimation of normals to answer the first problem, which in fact allows us to accurately approximate the tangent plane at a point on the surface and, through an integration method, to overcome topological problems related to the discrete surface. We present a theoretical convergence result of the discretized new operator, then we illustrate its properties using a numerical analysis of it. We carry out a detailed comparison of the new operator with those in the literature adapted on digital surfaces, which allows, at least for convergence, to show that only our operator has this property. We also illustrate the operator via some of these applications such as its spectral decomposition or the mean curvature flow.
La question centrale de cette thèse est le développement d'un opérateur Laplace-Beltrami discret sur des surfaces numériques. Ces surfaces proviennent de la théorie de la géométrie discrète, c'est-à-dire de la géométrie qui se concentre sur des sous-ensembles d'entiers relatifs. Nous nous situons ici dans un cadre théorique où les surfaces digitales sont le résultat d'un processus d'approximation, ou de discrétisation, d'une surface lisse sous-jacente. Cette méthode permet à la fois de prouver des théorèmes de convergence de quantités discrètes vers des quantités continues, mais aussi, par des analyses numériques, de confirmer expérimentalement ces résultats. Pour la discrétisation de l'opérateur, nous rencontrons deux problèmes : d'une part, notre surface n'est qu'une approximation de la surface continue sous-jacente, et d'autre part, l'estimation triviale des grandeurs géométriques sur la surface numérique ne nous donne généralement pas une bonne estimation de cette grandeur. Nous avons déjà des réponses au deuxième problème : ces dernières années, de nombreux articles se sont concentrés sur le développement de méthodes d'approximation de certaines grandeurs géométriques sur des surfaces digitales (comme les normales ou la courbure), méthodes que nous allons décrire dans cette thèse. Ces nouvelles techniques d'approximation nous permettent d'injecter des informations de mesure dans les éléments de notre surface. Nous utilisons donc l'estimation des normales pour répondre au premier problème, ce qui nous permet en fait d'approximer avec précision le plan tangent en un point de la surface et, par une méthode d'intégration, de surmonter les problèmes topologiques liés à la surface discrète. Nous présentons un résultat théorique de convergence du nouvel opérateur discrétisé, puis nous illustrons ses propriétés par une analyse numérique. Nous effectuons une comparaison détaillée du nouvel opérateur avec ceux de la littérature adaptée sur les surfaces digitales, ce qui permet, au moins pour la convergence, de montrer que seul notre opérateur possède cette propriété. Nous illustrons également l'opérateur via certaines de ces applications telles que sa décomposition spectrale ou le flux de courbure moyenne.
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