Big Galois image for p-adic families of positive slope automorphic forms
Grande image de Galois pour familles p-adiques de formes automorphes de pente positive
Résumé
Let g = 1 or 2 and p > 3 be a prime. For the symplectic group GSp2g the Hecke eigensystems appearing in the spaces of classical automorphic forms, of a fixed tame level and varying weight, are p-adically interpolated by a rigid analytic space, the GSp2g-eigenvariety. A sufficiently small subdomain of the eigenvariety can be described as the rigid analytic space associated with a profinite algebra T. An irreducible component of T is defined by a profinite ring I and a morphism θ : T → I. In the residually irreducible case we can attach to θ a representation ρθ : Gal(Q/Q) → GSp2g(I). We study the image of ρθ when θ describes a positive slope component of T. In the case g = 1 this is a joint work with A. Iovita and J. Tilouine. Suppose either that g = 1 or that g = 2 and θ is residually of symmetric cube type. We prove that Im ρθ is “big” and that its size is related to the “accidental congruences” of θ with the subfamilies that are obtained as lifts of families for groups of smaller rank. More precisely, we enlarge a subring I0 of I[1/p] to a ring B and we define a Lie subalgebra G of gsp2g(B) associated with Im ρθ. We prove that there exists a non-zero ideal l of I0 such that l · sp2g(B) ⊂ G. For g = 1 the prime factors of l correspond to the CM points of the family θ. Such points do not define congruences between θ and a CM family, so we call them accidental congruence points. For g = 2 the prime factors of l correspond to accidental congruences of θ with subfamilies of dimension 0 or 1 that are symmetric cube lifts of points or families of the GL2-eigencurve.
Soit g = 1 ou 2 et p > 3 un nombre premier. Pour le groupe symplectique GSp2g, les systèmes de valeurs propres de Hecke apparaissant dans les espaces de formes automorphes classiques, d’un niveau modéré fixé et de poids variable, sont interpolés p-adiquement par un espace rigide analytique, la vari´et´e de Hecke pour GSp2g. Un sous-domaine suffisamment petit de cette variété peut être décrit comme l’espace rigide analytique associé `a une algèbre profinie T. Une composante irréductible de T est d´efinie par un anneau profini I et un morphisme θ : T → I. Dans le cas résiduellement irréductible on peut associer `a θ une représentation ρθ : Gal(Q/Q) → GSp2g(I). On étudie l’image de ρθ quand θ décrit une composante de pente positive de T. Pour g = 1 il s’agit d’un travail en commun avec A. Lovita et J. Tilouine. On suppose que g = 1 o`u que g = 2 et θ est résiduellement de type cube sym2trique. On montre que Im ρθ est “grande” et que sa taille est li´ee aux “congruences fortuites” de θ avec les transferts de familles pour groupes de rang plus petit. Plus précisement, on agrandit un sous-anneau I0de I[1/p] en un anneau B et on définit une sous-algèbre de Lie G de gsp2g(B) associée `a Im ρθ. On prouve qu’il existe un idéal non-nul l de I0 tel que l · sp2g(B) ⊂ G. Pour g = 1 les facteurs premiers de l correspondent aux points CM de la famille θ. Pour g = 2 les facteurs premiers de l correspondent `a des congruences fortuites de θ avec des sous-familles de dimension 0 ou 1, obtenues par des transferts de type cube sym´etrique de points ou familles de la courbe de Hecke pour GL2.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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