Autour des équations de Klein Gordon
Equations de Klein Gordon sur les variétés
Résumé
This work consists of studying a development of a study of dimensional reduction and this to construct a renormalizable quantum field theory. The reduction will be from a 4-dimensional space-time (D=1+3) to a variant with a smaller number of spatial dimensions (D=1+d,d<3) at sufficiently small distances.
We will prove an important theorem that links the study of Klein Gordon's equation on space (with variable geometry) to the resolution of a Schrödinger equation with an effective potential generated by geometric variation. This result is based on the Fourier method (so-called varaible separation) in Klein Gordon's equation and on the fact that two-dimensional spaces are flat. We will show that in the case of the space dimension (d=2) the conformal factor of the metric between the effective potential in the Schrödinger equation due to the corresponding modifications of the variables.
As an example, we will consider a space-time with a variable spatial geometry including a transition to a dimensional reduction. This example which we are going to study contains a combination between two bidimensional cylindrical regions of distinct radii connected by a transition region.
Ce travail consiste à étudier un développement d'une étude de la réduction dimensionnelle et cela pour construire une théorie de champ quantique renormalisable. La réduction sera à partir d'un espace-temps à 4 dimensions (D=1+3) à une variante avec un plus petit nombre de dimensions spatiales (D=1+d,d<3) à des distances suffisamment petites.
Nous allons démontrer un théorème important qui reliera l'étude de l'équation de Klein Gordon sur l'espace (à géométrie variable) à la résolution d'une équation de type Schrödinger avec un potentiel effective généré par une variation géométrique. Ce résultat sera basé sur la méthode de Fourier (dite séparation de variables) dans l'équation de Klein-Gordon et sur le fait que les espaces bi-dimensionnels sont conformes à plat. Nous allons montrer que dans le cas de la dimension d'espace (d=2) le facteur de conformité de la métrique entre le potentiel effectif dans l'équation de Schrödinger due à la raison des modifications correspondantes des variables.
Comme exemple, nous allons considérer un espace-temps à géométrie spatiale variable incluant une transition vers une réduction dimensionnelle. Cet exemple que nous allons étudier contient une combinaison entre deux régions cylindriques bidimensionnelles de rayons distincts reliées par une région de transition.
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