On the rigidity of Riemannian manifolds
Sur la rigidité des variétés riemanniennes
Résumé
A Riemannian manifold is said to be rigid if the length of periodic geodesics (in the case of a closed manifold) or scattered geodesics (in the case of an open manifold) allows to recover the full geometry of the manifold. This notion naturally arises in imaging devices such as X-ray tomography. Thanks to a analytic framework introduced by Guillarmou and based on microlocal analysis (and more precisely on the analytic study of hyperbolic flows of Faure-Sjostrand and Dyatlov-Zworski), we show that the marked length spectrum, that is the lengths of the periodic geodesics marked by homotopy, of a closed Anosov manifold or of an Anosov manifold with hyperbolic cusps locally determines its metric. In the case of an open manifold with hyperbolic trapped set, we show that the length of the scattered geodesics marked by homotopy locally determines the metric. Eventually, in the case of an asymptotically hyperbolic surface, we show that a suitable notion of renormalized distance between pair of points on the boundary at infinity allows to globally reconstruct the geometry of the surface.
Une variété riemannienne est dite rigide lorsque la longueur des géodésiques périodiques (cas des variétés fermées) ou des géodésiques diffusées (cas des variétés ouvertes) permet de reconstruire globalement la géométrie de la variété. Cette notion trouve naturellement son origine dans des dispositifs d’imagerie numérique tels que la tomographie par rayons X. Grâce une approche résolument analytique initiée par Guillarmou et fondée sur de l’analyse microlocale (plus particulièrement sur certaines techniques récentes dues à Faure-Sjostrand et Dyatlov-Zworski permettant une étude analytique fine des flots Anosov), nous montrons que le spectre marqué des longueurs, c’est-à-dire la donnée des longueurs des géodésiques périodiques marquées par l’homotopie, d’une variété fermée Anosov ou Anosov à pointes hyperboliques détermine localement la métrique de la variété. Dans le cas d’une variété ouverte avec ensemble capté hyperbolique, nous montrons que la distance marquée au bord, c’est-à-dire la donnée de la longueur des géodésiques diffusées marquées par l’homotopie, détermine localement la métrique. Enfin, dans le cas d’une surface asymptotiquement hyperbolique, nous montrons qu’une notion de distance renormalisée entre paire de points au bord à l’infini permet de reconstruire globalement la géométrie de la surface.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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