Generalized integral points on abelian varieties - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2020

Generalized integral points on abelian varieties

Points entiers généralisés sur les variétés abéliennes

Résumé

We study the finiteness, growth order, generic emptyness, and uniformity of the set of (S,D)-integral sections in an abelian fibration A over a compact Riemann surface B. Here, S is an arbitrary subset of B and not necessarily finite. These integral sections correspond to rational points of the generic fibre of A and which intersect the divisor D only possibly above S. We introduce in this context the so-called hyperbolic-homotopic height as a substitute for the classical intersection theory. We then establish several new results concerning the finiteness of various large unions of (S,D)-integral points and their polynomial growth in terms of the caradinality of the restriction of S in U, where the sets S is required to be finite only in a certain small open subset U of B. Such results are out of reach of a purely algebraic method. Thereby, we give some new evidence and phenomena to the Geometric Lang-Vojta conjecture. When A is an elliptic surface, we obtain the same results for certain unions of (S,D)-integral points, where both S and D are allowed to vary in certain families. A negative finiteness result concerning the Parshin-Arakelov theorem is also given.
L'objectif de cette thèse est l'étude des propriétés concernant la finitude, la croissance, la nonexistence générique et l'uniformité de l'ensemble des sections (S,D)-entières d'une famille des variétés abéliennes A fibrée au-dessus d'une surface de Riemann compacte B. Le sous-ensemble S de B est arbitraire et n'est pas nécessairement fini. Ces sections entières correspondent aux points rationnels de la fibre générique de A et qui ne peuvent intersecter le diviseur D de A qu'au-dessus de S. Dans ce contexte, une machinerie appelée hauteur hyperbolique-homotopique est introduite pour jouer le rôle de la théorie d'intersection. Nous démontrons plusieurs nouveaux résultats sur la finitude de certaines unions larges de sections (S, D)-entières ainsi que leur croissance polynomiale en fonction du cardinal de la restriction de S à un certain ouvert complexe petit U de B. Ces résultats sont hors de portée des méthodes purement algébriques. Ainsi, nos travaux mettent en évidence certains phénomènes nouveaux en faveur de la version géométrique de la conjecture de Lang-Vojta. Si A est une surface elliptique, les mêmes conclusions restent vraies où non seulement S mais D peuvent aussi varier en familles. Nous démontrons également un résultat négatif concernant le théorème de Parshin-Arakelov.
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Origine : Version validée par le jury (STAR)

Dates et versions

tel-02515788 , version 1 (23-03-2020)
tel-02515788 , version 2 (30-09-2020)

Identifiants

  • HAL Id : tel-02515788 , version 2

Citer

Xuan Kien Phung. Generalized integral points on abelian varieties. Number Theory [math.NT]. Université de Strasbourg, 2020. English. ⟨NNT : 2020STRAD003⟩. ⟨tel-02515788v2⟩
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