Positive Semidefinite Relaxations for Imaging Science - TEL - Thèses en ligne Access content directly
Theses Year : 2020

Positive Semidefinite Relaxations for Imaging Science

Relaxations Semi-définies Positives pour l'Imagerie

Abstract

This thesis proposes theoretical and algorithmic advances for positive semi-definite relaxations and their applications in data science. These so-called Lasserre’s hierarchies allow one to solve super-resolution problems without resorting to spatial discretization, by replacing measures with their trigonometric moments. However, they require the resolution of large convex optimization problems. The contributions of this thesis show how to scale these methods by exploiting certain properties and invariances of imaging problems. We first propose a new approach for the recovery of continuous measures from a finite number of moments, based on the approximate joint-diagonalization of a few non-Hermitian matrices. Then, we study the super-resolution problem, and its approximation by Lasserre’s hierarchy. A preliminary step consisting in the spectral projection of the forward operator makes this approximation possible, and further allows a fast implementation, the Fourier-based Frank Wolfe (FFW), taking advantage of the convolutional and low-rank structure of the involved matrices. We apply our method on fluorescence microscopy data. Finally, combining the recovery of continuous measures with the fast implementation of FFW, we employ Lasserre’s hierarchies to approximate the optimal transport between measures, which can also be coupled with the Blasso.
Cette thèse propose des avancées théoriques et algorithmiques pour les relaxations semi-définies positives et leurs applications en science des données. Ces relaxations, dites de Lasserre, fondées sur la substitution aux mesures boréliennes de leurs moments trigonométriques, permettent de résoudre des problèmes de super-résolution sans discrétisation spatiale, mais nécessitent en contrepartie la résolution de problèmes d’optimisation convexe de grande taille. Les contributions de cette thèse montrent comment faire passer ces méthodes à l’échelle en exploitant certaines propriétés et invariances des problèmes d’imagerie. Nous proposons dans un premier temps une nouvelle méthode pour la reconstruction de mesures continues à partir d’un nombre fini de leurs moments, reposant sur un algorithme de co-diagonalisation approchée. Nous étudions ensuite le problème de super-résolution, sous sa forme variationnelle appelée BLASSO, et son approximation par la hiérarchie de Lasserre. Une étape préalable de projection spectrale de l’opérateur d’acquisition rend possible cette approximation et permet également son implémentation efficace via un nouvel algorithme, le Fourier-based Frank-Wolfe (FFW), tirant profit de la structure convolutive et de faible rang des matrices impliquées. Nous appliquons notre méthode sur des données de microscopie par fluorescence. Enfin, combinant la reconstruction de mesures continues avec l’implémentation rapide de FFW, nous employons les hiérarchies de Lasserre afin d’approcher le transport optimal entre deux mesures, qui peut également être couplé avec le Blasso.
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Dates and versions

tel-03131464 , version 1 (04-02-2021)

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  • HAL Id : tel-03131464 , version 1

Cite

Paul Catala. Positive Semidefinite Relaxations for Imaging Science. Mathematics [math]. Ecole Normale Supérieure, 2020. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-03131464⟩
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