A-posteriori-steered and adaptive ρ-robust multigrid solvers
Solveurs multigrille ρ-robustes et adaptatifs guidés par des estimateurs a posteriori
Résumé
In this thesis, we consider systems of linear algebraic equations arising from discretizations of second-order elliptic partial differential equations using finite elements of arbitrary polynomial degree. In Chapter 1, an a posteriori estimator of the algebraic error is proposed, the construction of which is linked to that of a multigrid solver without pre-smoothing and a single post-smoothing step by Schwarz methods (Jacobi block). We prove the following results and their equivalence: the solver contracts the error independently of the polynomial degree (ρ-robustness) ; the estimator represents a two-sided ρ-robust bound of the error. In Chapter 2, optimal steps which minimize the error at each level, are introduced. This makes it possible to have an explicit Pythagorean formula for the error; this in turn serves as the foundation for a simple and efficient adaptive strategy allowing to choose the number of post-smoothing steps per level. In Chapter 3, an adaptive local smoothing strategy is introduced thanks to our efficient and localized estimator of the algebraic error by levels/patches of elements. Patches contributing more than a given percentage to the overall error are marked via a bulk-chasing criterion. Each iteration is composed of a non-adaptive V-cycle and an inexpensive adaptive V-cycle which uses local smoothing only in the marked patches. These V-cycles contract the error in a ρ-robust fashion. In Chapter 4 the above results are extended to mixed finite elements in two spatial dimensions. A variety of numerical tests is presented to confirm the theoretical results of the thesis and to illustrate the advantages of our approaches.
Dans cette thèse, nous considérons des systèmes d’équations algébriques linéaires provenant de discrétisation d’équations aux dérivées partielles elliptiques de second ordre par des éléments finis de degré polynomial arbitraire. Dans le Chapitre 1, un estimateur a posteriori de l’erreur algébrique est proposé, dont la construction est liée à celle d'un solveur multigrille sans pré-lissage et un pas de post-lissage par des méthodes de Schwarz (bloc-Jacobi). Nous prouvons les résultats suivants et leur équivalence : le solveur contracte l’erreur indépendamment du degré polynomial (ρ-robustesse) ; l’estimateur représente une borne ρ-robuste supérieure et inférieure de l’erreur. Dans le Chapitre 2, des pas optimaux, minimisant l’erreur à chaque niveau, sont introduits. Ceci permet d'avoir une formule de Pythagore explicite de l’erreur, qui sert de base pour une stratégie adaptative simple et efficace permettant de choisir le nombre de pas de post-lissage par niveau. Dans le Chapitre 3, une stratégie de lissage local adaptatif est introduite grâce à notre estimateur efficace et localisé par niveaux/patchs d’éléments. Les patchs contribuant plus qu’un pourcentage donné à l’erreur globale sont marqués via un critère bulk-chasing. Chaque itération est composée d'un V-cycle non adaptatif et d’un V-cycle adaptatif n’utilisant le lissage local que dans les patchs marqués. Ces V-cycles contractent l’erreur de manière ρ-robuste. Dans le Chapitre 4, les résultats ci-dessus sont étendus à des éléments finis mixtes en dimension deux d’espace. Une variété de tests numériques est présentée pour confirmer les résultats théoriques de la thèse et pour montrer les avantages de nos approches.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
|---|