Finite time singularity formation for non symmetric or non variational partial differential equations
Formation de singularités en temps fini pour les équations aux dérivées partielles non symétriques ou non variationnelles
Résumé
In the context of this thesis, we are interested in finite time singularity formation for non symmetric or non variational partial differential equations of parabolic type. In particular, we mainly focus on the following two phenomena : blowup and quenching (touch-down) infinite time. In this thesis, we aim at studying the following equations : [....] where Ω is a C² bounded domain in ℝᶰ and λ, Ƴ are positive constants.These models are closely related to many common phenomena in nature. In particular, equation (6) is a model for Micro Electro Mechanical Systems (MEMS). In this work, we construct blowup solutions to (4) and (5) and solutions with extinction to (6). In addition to that, we describe the asymptotic behavior of these solutions around the singular point. We use in this thesis the framework of similarity variables, introduced by Giga and Kohn in CPAM 1985. We finally derive the results by using a reduction to a finite dimensional problem and a topological argument which was introduced in particular by Bressan, Bricmont and Kupiainen, and also Merle and Zaag. Clearly, our work is not a simple adaptation of the works cited above. Indeed, our models, by their proximity to applications, are outside the ideal framework considered in pioneering works. In particular, equation (4) is not scaling-invariant, whereas (5) does not admit variational structure. As for (6), the presence of the integral term (non-local term) requires us to treat this term more delicately. In fact, we have achieved our goals thanks to some new ideas. More precisely, for (5), we carry out a delicate control of the solution so that it always stays in the domain where the non linearity is defined with no ambiguity. For (6), we control the oscillation of the non-local term to keep it small enough, and this allows us to deduce its convergence.
Dans le cadre de cette thèse, nous nous intéresserons à la formation de singularités en temps fini pour les équations d’´évolution de type parabolique. En particulier, nous nous concentrons sur l’´étude des deux phénomènes principaux suivants : l’explosion et l’extinction en temps fini. Dans cette thèse, nous considérons les équations suivantes : [....] où Ω est un domaine borné de classe C² dans ℝᶰ et λ, Ƴ sont positifs.Ces modèles se rapportent `a plusieurs phénomènes naturels. En particulier, l’équation(3) modélise un système micro ´electro-mécanique (MEMS).Dans ce travail, nous avons construit des solutions explosives (pour (1) et des (2)) et des solutions avec extinction pour (3). En plus de ¸ça, nous décrivons le comportement asymptotique des solutions autour du point singulier.Comme cadre pour notre travail, nous utilisions celui des variables auto-similaires qui a ´et´e introduit par Giga et Kohn dans CPAM 1985. Nous obtenons les résultats en utilisant une réduction en dimension finie du problème et un argument topologique qui a´et´e notamment introduit par Bressan, Bricmont et Kupiainen ainsi que par Merle et Zaag. Clairement, notre travail n’est pas une simple adaptation des travaux cit´es ci-haut.En effet, nos modèles, par leur proximité avec les applications, sortent du cadre idéal considéré dans les travaux pionniers. En particulier, l’équation (1) n’est pas invariante par changement d’échelle, alors que (2) n’admet pas de structure variationnelle. Quant à (3), la présence du terme intégral (donc non-local) nous oblige `a une manipulation plus délicate.En fait, nous avons atteint nos objectifs grˆace `a quelques nouvelles idées. Plus précisément,pour (2), nous effectuons un contrôle délicat de la solution afin qu’elle reste dans un domaine où la non linéarité est définie sans ambiguïté. Pour (3), nous contrôlons l’oscillation du terme non-local afin qu’il reste assez petit et nous en déduisons sa convergence.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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