Non-Newtonian Fluids: Modeling and Well-Posedness
Fluides Non Newtoniens: Modélisation et Caractère Bien Posé
Résumé
The work in this thesis falls in the category of comprehending dynamical systems related
to thin liquid films driven by gravity; mainly shallow water models and lubrication equations.
From a modeling point of view, we have derived from one hand 3-equation shallow water models
for Newtonian fluids with constant viscosity that describe the evolution of the fluid’s height, velocity
and a new defined variable equivalent to the shear rate. Such models succeed in capturing
unstable regimes and in giving satisfactory numerical results for the instability threshold and
the wave speed at moderate distance from threshold. On the other hand, a lubrication equation
and a shallow water model were derived for a non Newtonian fluid- known as a bi-viscous
fluid- whose rheology approximates that of pseudo plastic and Bingham fluids. Concerning the
analysis part, the global existence of nonnegative weak solutions for lubrication equations, such
as the Derrida-Lebowitz-Speer-Spohn equation, is proved starting from nonnegative weak solutions
for appropriate viscous shallow-water equations (playing with drag terms and capillarity
formula). The novelty in this work is to show that the BF entropy which is introduced for
lubrication equations in the context of thin films is encoded inside the BD entropy introduced
for compressible Navier Stokes equations with density dependent viscosity. We also investigate
the dissipative solution of Navier Stokes system of Oldroyd-B rheology, as well as the global
weak solution for degenerate lake system of Bingham rheology.
Cette thèse porte sur la compréhension de systèmes dynamiques liés aux films liquides minces
entraînés par la gravité; principalement des modèles d’eau peu profonde et des équations de
lubrification. D’un point de vue modélisation, nous avons obtenu d’une part des modèles à 3
équations des eaux peu profondes pour les fluides newtoniens à viscosité constante décrivant
l’évolution de la hauteur du fluide, de sa vitesse et d’une nouvelle variable définie équivalente
au taux de cisaillement. De tels modèles parviennent à capturer des régimes instables et à
donner des résultats numériques satisfaisants pour l’étude de seuil d’instabilité et de la phase
de l’onde à une distance modérée du seuil. D’autre part, une équation de lubrification et un
modèle d’eau peu profonde ont été obtenu à partir d’un modèle de fluide non-Newtonien connu
sous le nom de fluide bi-visqueux- dont la rhéologie se rapproche de celle des fluides pseudoplastiques
et de Bingham. Concernant la partie analyse, l’existence globale de solutions faibles
non négatives pour les équations de lubrification, telles que l’équation de Derrida-Lebowitz-
Speer-Spohn, partant des solutions faibles non négatives pour les équations appropriées d’eau
peu profonde visqueuse (en manipulant les termes de traînée et la formule de capillarité), est
montrée. La nouveauté dans ce travail est de montrer que l’entropie BF qui a été introduite
pour les équations de lubrification dans le contexte des films minces est encodée dans l’entropie
BD introduite pour Navier-Stokes compressible avec viscosités dépendant de la densité. On
s’intéresse également aux solutions dissipatives pour des systèmes incompressible et compressible
de type Oldroyd ainsi qu’aux solutions faibles pour un système dégénéré de type Bingham.
Origine | Fichiers produits par l'(les) auteur(s) |
---|