Large scale limits for interacting particle systems with simultaneous jumps in diffusive regime
Limite de grande échelle de systèmes de particules en interaction avec sauts simultanés en régime diffusif
Résumé
We study large scale limits for interacting particle systems. In each model, we consider mean field interacting N-particle systems with stochastic and centred interacting strength of order N^{-1/2}, and we prove the convergence of these systems as N goes to infinity. In the more classical framework where the interacting strength is N^{-1}, we observe a propagation of chaos. In our framework, we prove conditional propagations of chaos. We study three kinds of models. The first kind concerns systems of Hawkes processes. Their convergence is shown from the convergence of their stochastic intensities. As these intensities are, in our frame, Markov processes, we show their convergence and obtain a convergence speed using their generators. The second kind of model is a generalization of the first one where the previous methods cannot be applied. Instead we use a new type of martingale problem to show the convergence of the empirical measures of the particle systems to the directing measure of the limit system. In these models, McKean-Vlasov equations appear naturally at the limit, and when the interactions are spatial, the limit SDEs are directed by white noises. Finally, we study McKean-Vlasov systems with interacting strength in N^{-1} with coefficients that are locally Lipschitz. We prove the strong well-posedness of these equations and the propagation of chaos.
Nous étudions des limites de grande échelle de systèmes de particules en interaction. Dans chaque modèle, nous considérons des systèmes à N particules en interaction champ moyen avec une force d'interaction aléatoire et centrée de l'ordre de N^{-1/2}, et démontrons la convergence de ces systèmes quand N tend vers l'infini. Dans le cadre plus classique où la force des interactions est N^{-1}, on constate une propagation du chaos. Dans notre cadre, nous montrons des propagations du chaos conditionnelles. Nous étudions trois types de modèles. D'abord, nous étudions des systèmes de processus de Hawkes dont nous montrons la convergence des intensités stochastiques. Comme ces intensités sont, dans notre cadre, des processus de Markov, nous montrons leur convergence et obtenons une vitesse de convergence en exploitant leurs générateurs. Puis nous étudions une généralisation du premier type de modèle où les méthodes précédentes ne marchent plus. `A la place, nous utilisons un nouveau type de problème martingale pour montrer que les mesures empiriques des systèmes de particules convergent vers la mesure directrice du système limite. Dans ces modèles, les équations de type McKean-Vlasov apparaissent naturellement à la limite, et lorsque les interactions sont spatiales, les EDS limites sont dirigées par des bruits blancs. Finalement, nous étudions des systèmes McKean-Vlasov avec une force d'interaction en N^{-1} et avec des coefficients localement lipschitziens. Nous montrons que ces équations sont bien posées au sens fort, et la propagation du chaos.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
|---|