Communication complexity : large output functions, partition bounds, and quantum nonlocality
Complexité de la communication : fonctions à grande sortie, bornes partitions et non-localité quantique
Résumé
Most classical problems of communication complexity are Boolean functions. When considering functions of larger output, the way in which the result of a computation must be made available – the output model – can greatly impact the complexity of the problem. In particular, some lower bounds may not apply to all models. In this thesis, we study some lower bounds affected by the output model, problems with large outputs, revisit several classical results in the light of these output mechanisms, and relate them to the formalism of behaviors and Bell inequalities of quantum nonlocality. First, in the realm of partition bounds, we show that they necessarily have a relatively large value on large output functions, which indicates that they are lower bounds for only one of our output models. We also show how to obtain a deterministic protocol from an optimal solution of the positive partition bound, and a new connection with another lower bound technique, weak-regularity. We also leverage a recent information-theoretic re-interpretation of the partition bound to give an exponential separation between communication complexity and partition bound. The problem achieving this is a large output relation recently introduced to separate communication complexity and external information complexity. Secondly, we formally define several output models. We separate them, showing how the complexity of some problems dramatically changes between models, and for all our model re-prove standard error-reduction and randomness-removal results only previously known for the most standard, usually assumed output models. Furthermore, we show for a few natural problems that their complexity significantly varies when changing output model, and show how the rank lower bound still applies to all our models with only a slight adaptation. As last topic, we move to quantum nonlocality and show that some communication complexity lower bounds have an interpretation in the form of Bell inequalities. The Bell inequalities obtained are resistant against detection inefficiency, and a priori not against other types of disturbance. We reformulate computing a function in a specific output model as computing a behavior – a family of probability distributions indexed by possible inputs. This allows us to use the efficiency bounds as proper generalisations of the partition bound for non-standard output models.
La plupart des problèmes étudiés en complexité de la communication sont Booléens. Pour des fonctions à plus large sortie, la manière dont le résultat du calcul doit être retourné – le modèle de sortie – peut grandement changer la complexité du problème. De même, les bornes inférieures ne s’appliquent pas toutes à tous les modèles. Dans cette thèse, nous étudions des bornes inférieures impactées par le modèle de sortie, revisitons quelques résultats classiques à la lumière de ces modèles de sortie, et les relions au formalisme des comportements et des inégalités de Bell du domaine de la non-localité quantique. Premièrement, nous nous intéressons aux bornes partition et montrons que leur application à une fonction à large sortie donne nécessairement de grandes valeurs, indiquant qu’elles ne sont des bornes inférieures que pour un de nos modèles de sortie. Nous montrons également comment construire un protocole déterministe à partir d’une solution optimale de la borne partition dite “positive”, ainsi qu’une nouvelle connexion avec une autre borne inférieure, la régularité faible. Via une récente réinterprétation de la borne partition en termes d’information, nous établissons une séparation exponentielle entre la borne partition et la complexité de la communication. Le problème permettant cette séparation est un problème récemment introduit pour séparer la complexité de la communication et la complexité de l’information dite “externe”. Ensuite, nous définissons plusieurs modèles de sortie. Nous les séparons, en montrant de grands écarts de complexités entre les différents modèles sur quelques problèmes. Nous re-prouvons dans nos modèles quelques résultats classiques de réduction d’erreur et de suppression d’aléatoire auparavant seulement connus pour les modèles de sortie les plus courants. Nous établissons pour quelques problèmes naturels supplémentaires que leur complexité varie significativement en selon le modèle de sortie, et montrons que la borne inférieure du rang s’applique toujours à nos modèles à une petite modification près. En dernier lieu, nous traitons de non-localité quantique et montrons que certaines bornes inférieures en complexité de la communication peuvent être interprétées sous la forme d’inégalités de Bell. Les inégalités de Bell obtenues sont résistantes à l’inefficacité de détection, et ne le sont pas a priori à d’autres formes de bruit. Nous reformulons le calcul d’une fonction dans un modèle de sortie spécifique en le calcul d’un comportement – une famille de distributions de probabilités indexées par les entrées possibles. Ceci nous permet d’utiliser les bornes efficacité comme des généralisations naturelles de la borne partition pour des modèles de sortie non-standards.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
|---|