Quelques problèmes de contrôle optimal d'équations aux dérivées partielles et applications au procédé de fusion sélective par laser (SLM) - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2020

Some optimal control problems of partial differential equations and applications to the selective laser melting process (SLM)

Quelques problèmes de contrôle optimal d'équations aux dérivées partielles et applications au procédé de fusion sélective par laser (SLM)

Résumé

In this thesis, we study optimal control problems of partial differential equations withan application to the selective laser melting process. The thesis consists of four chapters.In chapter 1, we introduce the topic of the thesis and we present the main results.Chapter 2 deals with an optimal control problem of the heat equation with non-convexconstraints on the control. The problem corresponds to laser path optimization in theselective laser melting process. First, we introduce this technology and the controlproblem. The laser path is the control. Then we show existence of optimal controls andwe deduce a first order necessary optimality condition. The difficulty in discretizing thenon-convex constraints leads us to introduce another constraint on the control, beingnon differentiable we treat it by penalization. In chapter 3, we study the existence oflocal solutions for the heat-Maxwell coupled system, the permittivity dependent onthe temperature. The model describes the diffusion of heat with volumic heat sourceinduced by electromagnetic waves. The model being nonlinear, we first show thatMaxwell’s equations are well posed using the theory of evolution systems (theory of T.Kato) in the hyperbolic case. Then, we show the existence of local solutions for thecoupled problem using the Schauder’s fixed point theorem. Finally in chapter 4, westudy an optimal control problem related to external electromagnetic source. The stateequation is the heat-Maxwell system presented in chapter 3 but with a permittivityindependent of the temperature. The control is the external electromagnetic sourceand could be the electric field of lasers. We show the well posedness of the stateequation then we prove existence of optimal controls. At last, a first-order necessarycondition for a control to be optimal is then derived in the form of a variational inequality.
Dans cette thèse, nous étudions quelques problèmes de contrôle optimaldes équations aux dérivées partielles avec appliqués au procédé de fusion sélective parlaser. La thèse se compose de quatre chapitres. Dans le chapitre 1, nous introduisonsle sujet de la thèse et nous présentons les principaux résultats obtenus. Le chapitre 2traite un problème de contrôle optimal de l’équation de la chaleur avec des contraintesnon convexes sur le contrôle. Le problème correspond à l’optimisation de la trajectoiredu laser dans le procédé de fusion sélective par laser. Tout d’abord, nous présentonscette technologie et le problème de contrôle optimal étudié. Le contrôle est la trajectoiredu laser. Ensuite, nous montrons l’existence d’un contrôle optimal et nous en déduisonsune condition d’optimalité nécessaire du premier ordre. La difficulté à discrétiser les contraintesnon convexes nous amènent à introduire une autre contrainte géométrique sur latrajectoire du laser, étant non différentiable nous la traitons par pénalisation. Dans lechapitre 3, nous étudions l’existence de solutions locales pour le système couplé chaleur-Maxwell, la permittivité dépendante de la température. Le modèle décrit la diffusion dela chaleur avec une source de chaleur volumique induite par des ondes électromagnétiques.Le modèle étant non linéaire, nous montrons d’abord que les équations de Maxwell sontbien posées en utilisant la théorie des systèmes d’évolution (théorie de T. Kato) dansle cas hyperbolique. Puis, nous montrons l’existence de solutions locales pour le problèmecouplé en utilisant le théorème du point fixe de Schauder. Enfin au chapitre 4,nous étudions un problème de contrôle optimal lié à la source électromagnétique externe.L’équation d’état est le système chaleur-Maxwell présenté au chapitre 3 mais avec unepermittivité indépendant de la température. Le contrôle est la source électromagnétiqueexterne et pourrait être le champ électrique des lasers. Nous montrons que l’équationd’état est bien posé puis nous prouvons l’existence d’un contrôle optimal. Enfin, unecondition nécessaire du premier ordre pour qu’un contrôle soit optimal est alors dérivéesous la forme d’une inégalité variationnelle.
Fichier principal
Vignette du fichier
ALAM_Tonia_Maria-1.pdf (2.83 Mo) Télécharger le fichier
Origine : Version validée par le jury (STAR)

Dates et versions

tel-03390313 , version 1 (21-10-2021)

Identifiants

  • HAL Id : tel-03390313 , version 1

Citer

Tonia-Maria Alam. Quelques problèmes de contrôle optimal d'équations aux dérivées partielles et applications au procédé de fusion sélective par laser (SLM). Optimisation et contrôle [math.OC]. Université Polytechnique Hauts-de-France, 2020. Français. ⟨NNT : 2020UPHF0022⟩. ⟨tel-03390313⟩
168 Consultations
84 Téléchargements

Partager

Gmail Facebook X LinkedIn More