Bootstrap percolation and kinetically constrained models: two-dimensional universality and beyond
Percolation bootstrap et modèles cinétiquement contraints: universalité en deux dimensions et au-delà
Résumé
We study two tightly related classes of statistical mechanics models on the two-dimensional square lattice—kinetically constrained models and bootstrap percolation. The former arose as models of the dynamics of supercooled liquids close to the glass transition, while the latter are used to model a number of settings including magnets and social phenomena. We consider both kinetically constrained models and bootstrap percolation from a rigorous probabilistic perspective. We are interested in their behaviour as their parameter approaches its (possibly degenerate) critical value. More specifically, we investigate the rate of divergence of certain characteristic time scales, such as the infection time of a fixed site and the relaxation time.
Among the highlights of the thesis is determining the universality classes of kinetically constrained models together with their characteristic equilibrium time scales at low temperature. That is, we establish a partition of all possible models into groups with similar behaviour and provide a recipe for determining the behaviour from the definition of the model. Contributions are made to the full spectrum of universality classes of kinetically constrained models, but in some cases also to the simpler and better understood bootstrap percolation. In addition to universal results, we provide sharp asymptotics in both bootstrap percolation and kinetically constrained models for the most classical, 2-neighbour, model, as well as advances on the 1-neighbour kinetically constrained model known as the Fredrickson–Andersen 1-spin facilitated model.
The thesis consists of three main parts based on techniques from different domains. The first one relates to dynamics of interacting particle systems. The second one relies on combinatorial arguments. The third and final part takes a percolation viewpoint.
On étudie deux classes de modèles étroitement liées de physique statistique sur le réseau carré bidimensionnel – les modèles cinétiquement contraints et la percolation bootstrap. Les premiers sont apparus pour modéliser la dynamique des liquides surfondus près de leur transition vitreuse, tandis que la percolation bootstrap modélise de nombreux cadres tels que certains aimants ou encore des phénomènes sociaux. Nous considérons les modèles cinétiquement contraints et la percolation bootstrap d’un point de vue rigoureux probabiliste. On s’intéresse à leur comportement lorsque leur paramètre tend vers sa valeur critique (possiblement dégénérée). Plus concrètement, nous étudions le taux de divergence de certains temps caractéristiques tels que le temps d’infection d’un site fixé et le temps de relaxation.
Parmi les résultats les plus conséquents de la thèse est la détermination des classes d’universalité de modèles cinétiquement contraints ainsi que leurs échelles de temps caractéristiques à l’équilibre en basse température. C’est-à-dire, on établit une partition de tous les modèles possibles en groupes à comportement similaire et fournit une recette pour déterminer ce comportement à partir de la définition du modèle. Des contributions sont apportées à tout le spectre de classes d’universalité de modèles cinétiquement contraints, mais dans certains cas aussi à la percolation bootstrap plus simple et mieux comprise. En supplément des résultats universels, nous donnons des asymptotiques exactes à la fois en percolation bootstrap et en modèle cinétiquement contraint pour le modèle le plus classique à deux voisins. De plus, nous marquons des progrès sur le modèle cinétiquement contraint à un voisin appelé modèle de Fredrickson–Andersen 1-spin facilité.
La thèse est constituée de trois parties principales, basées sur des techniques provenant de domaines différents. La première relève de la dynamique de systèmes de particules en interaction. La deuxième emploie des arguments de combinatoire. La troisième et dernière partie prend un point de vue de percolation.
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