Computational methods for statistical estimation on Riemannian manifolds and application to the study of the cardiac deformations
Estimation statistique dans les variétés Riemanniennes : implémentation et application à l’étude des déformations cardiaques
Résumé
The study of anatomical shapes and deformations is of major interest in cardiology where diseases such as arrhythmia or pulmonary hypertension cause abnormalities in the way the heart contracts or of its shape. The characterization of these abnormalities allows to evaluate the gravity of the disease or the impact of a treatment. A mathematical framework that accounts for the nonlinearity and invariance properties of shape spaces and shape deformations is needed to obtain such characterizations, perform population statistics and disentangle the two factors of variability: shape and deformation.Riemannian manifolds are a natural setting that fill in these desiderata, and parallel transport is commonly used to normalize the deformations of the cerebral cortex, allowing to decorrelate its evolution from the initial shape. More generally, data lying on Riemannian manifolds are ubiquitous, yet, the development of computational tools from the basic theory of Riemannian geometry is tedious. One of the aims of this thesis is to provide the computational tools to perform statistics and machine learning on Riemannian manifolds to the community. The work presented here forms one of the main contributions to the open-source project geomstats, that consists in a Python package providing efficient implementations of the concepts of Riemannian geometry, both for mathematicians and for applied scientists for whom most of the difficulties are hidden under high-level functions.An exposition of Riemannian geometry is first given, with illustrations and examples. We adopt a computational point of view to then demonstrate how these concepts are implemented in geomstats, explaining the choices made during its development. The use of geomstats to perform statistics on manifolds is briefly exemplified.Particular attention is given to the implementation of invariant metrics on Lie groups for which a new formulation of the parallel transport is given, and on a general implementation of quotient metrics with applications to Kendall shape spaces. Our new implementation of parallel transport in these spaces outperforms the state of the art in speed and precision.We then focus on the study of ladder methods that consist in reproducing the construction of small geodesic parallelograms to approximate parallel transport on manifolds. These are now used in applications such as robotics, medical imaging or computer vision. However, the literature lacks a clear analysis of their convergence performance. We give Taylor approximations of the constructions with respect to the curvature of the space and prove that these methods can be iterated to converge with quadratic speed, even when geodesics are approximated by numerical schemes. This rate is precisely observed on common manifolds. The special Euclidean group with an anisotropic invariant metric is of particular interest to illustrate the effect of the covariant derivative of curvature.Finally, we apply these results to the problem of studying cardiac deformations. We use the Large Deformation Diffeomorphic Metric Mapping framework and parallel transport to reorient deformations of the right-ventricle. However, we find undesirable effects of the large volume differences that occur between patients and the control group. We propose a normalization procedure for the amplitude of the deformation by a scaling step that conserves the relative volume change. This approach proves effective, and we exhibit a significant relation between the volume changes and the scaling parameter. The normalized deformations are then studied by summarizing each deformation with a spline regression and performing statistics on the parameters of the splines that reveal significant differences between each disease and the control group, reflecting the dynamics of each disease.
L’étude des formes anatomiques et de leur mouvement est au cœur des préoccupations dans de nombreuses spécialités de la médecine. En cardiologie, des pathologies telles que l’arythmie ou l’hypertension pulmonaire entraînent des anomalies, telles qu’une contraction plus lente ou le grossissement du myocarde, et dont la caractérisation en forme, et en déformation permet d’évaluer la gravité de la maladie ou l’impact d’un traitement. Cette caractérisation nécessite un cadre mathématique prenant en compte les non-linéarités et les invariances propres aux formes, et à leurs déformations, et qui permette de décorréler ces deux facteurs de variabilité.Les variétés Riemanniennes offrent un cadre naturel qui répond à ces exigences, et le transport parallèle est communément utilisé comme stratégie de normalisation des déformations du cortex cérébral, permettant d’abstraire le mouvement de la forme. Plus généralement, de nombreux types de données sont modélisés dans des variétés Riemanniennes, mais peu d'outils numériques sont disponibles. L’objectif de cette thèse est d’une part de développer et mettre à disposition des outils de calcul robustes et modulables permettant de faire des statistiques dans des variétés Riemanniennes, et d'autre part d'appliquer ces concepts dans le but de modéliser les déformations du ventricule cardiaque droit lors de surcharge en volume et en pression.Dans ce but, nous fournissons d'abord une exposition des notions de la géométrie Riemannienne, avec de nombreux exemples et en adoptant le point de vue des applications. Nous expliquons comment ces concepts sont implémentés dans le projet Python geomstats qui rassemble l'implémentation de la géométrie et des outils d’apprentissage statistique sur les variétés, et dont cette thèse constitue une des contributions majeures.Une attention particulière est portée à l'implémentation des métriques invariantes sur les groupes de Lie pour lesquelles une nouvelle formulation du transport parallèle est donnée, ainsi qu'à une implémentation générique des métriques quotients, avec applications aux espaces de formes de Kendall. Cette nouvelle implémentation a permis des gains sur l'état de l'art en précision et en vitesse de convergence.Nous nous concentrons ensuite sur le calcul du transport parallèle par les méthodes dites à échelle qui consistent à construire des petits parallélogrammes géodésiques et sont utilisées depuis les années 2000 dans des applications allant de l’imagerie médicale à la robotique. Cependant, on ne trouve pas dans la littérature d'analyse claire de ses propriétés de convergence. Nous comblons ces lacunes en fournissant un développement limité de la construction en fonction de la courbure de l'espace. Cela permet ensuite de montrer que le schéma répété converge et d’obtenir une vitesse de convergence quadratique. Des expériences numériques effectuées sur différentes variétés ont permis de valider très précisément ce résultat.Ces résultats sont enfin appliqués au problème d'étude des déformations cardiaques. Le cadre des Larges Deformations Diffeomorphic Metric Mappings et le transport parallèle sont utilisés pour estimer et réorienter les déformations du ventricule droit. Nous mettons cependant en évidence des effets indésirables dus aux changements importants de volumes entre les patients et le groupe témoin. Nous proposons une stratégie de normalisation pour l'amplitude des déformations par une mise à l'échelle de façon à préserver le changement de volume relatif au cours du temps. Cette approche est efficace et le coefficient de mise à l'échelle est significativement associé au volume initial. Les déformations normalisées sont ensuite résumées par une régression à splines, dont les paramètres révèlent des différences significatives entre chaque pathologie et le groupe témoin, marquant l'effet des maladies sur la contraction du ventricule.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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