Geometric and Numerical Methods in Optimal Control and Zermelo Problems on Revolution Surfaces - Applications - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2021

Geometric and Numerical Methods in Optimal Control and Zermelo Problems on Revolution Surfaces - Applications

Méthodes Géométriques et Numériques en Contrôle Optimal et Problèmes de Zermelo sur les Surfaces de Révolution - Applications

Résumé

This work studies Zermelo problems on surfaces of revolution from the optimal control point of view in the Hamiltonian framework by combining so-called geometric and numerical methods. It is motivated by several case studies including the historical example of Carathéodory-Zermelo and the vortex problem" . The main goal is to construct an optimal synthesis in an adapted neighborhood R , it is summarized in the study of the regularity and the description of sub-level lines of the minimal time value function . The main diculty of this analysis lies in the existence of abnormal directions in the general case, which are associated to new situations such as : the loss of local controllability in q0 , the discontinuity of the minimal time function, the deformation of small spheres and balls , etc. Our analysis is based on two points of view. The first one is the Caratheodory-Zermelo-Goh point of view which allows us to rewrite the problem as a 3D affine and scalar control system in order to compute the conjugate and cut loci in relation to the optimality of solutions. The second point of view is the mechanical system one , which allows to write the problem with a generalized potential and to use the Clairaut relation to integrate the flow and to classify the trajectories following a classication method called GMR (generalized Morse-Reeb). Special attention is given to the study of the vortex problem which can be seen as a toy model of the Kepler problem with an orthoradial ow. In this case, we establish an existence solution result and we construct the synthesis of the problem.
Ce travail étudie les problèmes de Zermelo sur les surfaces de révolution du point de vue du contrôle optimal dans le cadre hamiltonien en combinant des méthodes dites géométriques et numériques. Il est motivé par plusieurs cas d'études notamment l'exemple historique de Carathéodory-Zermelo et le "problème du vortex" . L'objectif principal est de construire une synthèse optimale dans un voisinage adapté R , il se résume dans l'étude de la régularité et la description des lignes de (sous)-niveaux de la fonction temps minimale . La principale difficulté de cette analyse réside dans l'existence de directions anormales dans le cas d'un courant fort, celles-ci étant associées aux situations nouvelles telles que : la perte de contrôlabilité locale en q0 , la discontinuité de la fonction temps minimale, la déformation des petites sphères et boules , etc. Notre analyse est basée sur deux points de vue. Le premier point de vue est celui de Carathéodory-Zermelo-Goh qui permet de réécrire le problème comme un système de contrôle ane et scalaire en 3D affine de calculer les lieux conjugué et de coupure en lien avec l'optimalité des solutions. Le second point de vue est le point de vue système mécanique qui permet d'écrire le problème à l'aide d'un potentiel généralisé et d'utiliser la relation de Clairaut pour intégrer le flot et classiffier les trajectoires suivant une méthode de classiffication appelée GMR (generalized Morse-Reeb). Un accent particulier est mis sur l'étude du problème vortex qui peut être vue comme un modèle réduit du problème de Kepler avec un courant orthoradial. Dans ce cas, on établit un résultat d'existence de solution et on construit la synthèse du problème.
Fichier principal
Vignette du fichier
main_1.pdf (5.9 Mo) Télécharger le fichier
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)

Dates et versions

tel-03601394 , version 1 (03-02-2022)
tel-03601394 , version 2 (08-03-2022)

Identifiants

  • HAL Id : tel-03601394 , version 1

Citer

Boris Wembe. Geometric and Numerical Methods in Optimal Control and Zermelo Problems on Revolution Surfaces - Applications. Mathematics [math]. Université de Toulouse - Toulouse III - UPS, 2021. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-03601394v1⟩
308 Consultations
100 Téléchargements

Partager

Gmail Facebook X LinkedIn More