Tangles and modular Jones polynomial
Enchevêtrements et polynôme de Jones modulaire
Résumé
A knot is a circle tied in the three dimensional space which can be deformed continuously. In order to distinguish knots, a bundle of invariants have been developed. Among them, the Jones polynomial (1985) is one of the most famous and studied. Surprisingly, its hability to detect the unknot is not decided yet. Recently, a paper from Eliahou and Fromentin (2017) shows a new point of view for this problem. By considering the Jones polynomial modulo an integer m, the existence of non-trivial knots seen as the unknot by this polynomial invariant is more approachable. Their work also presents an answer for the cases m = 2r. In this memoir, we show that it is possible to construct knots to answer cases mr from one having a trivial Jones polynomial modulo m. That allows to give an other answer for cases m = 2r, but also for cases m = 3r. We try to give a generalized construction of the Eliahou and Fromentin one too, but the lack of examples make this only theoretical so far. The Kauffman bracket (1987) is a tool to construct the Jones polynomial from a knot diagram. Its connections with generators of the Temperley-Lieb algebra, which also span the diagram monoid, and the braid theory have already been studied, notably by Kauffman himself (1990). We continue to investigate these different connections so that we can learn more on the Jones polynomial, and on these connected theories too. We bring as example a new matrix representation of braids, which provide a new method to compute the Jones polynomial associated to these braids closed in various way. We also study the diagram monoid thank to an embedding inside permutations, and develop as such a new product for permutations similar to the classical composition.
Pouvoir distinguer les noeuds entre eux, divers invariants ont été développés. Parmi eux, le polynôme de Jones (1985) est l’un des plus connus et étudiés, mais à ce jour sa capacité à détecter le noeud trivial reste non décidée. Récemment des travaux de Eliahou et Fromentin (2017) ont présenté ce problème sous un nouvel angle. En considérant le polynôme de Jones modulo un entier m, la question de l’existence de noeuds non triviaux vus comme triviaux par cet invariant polynomial est plus abordable. Leur travail présente d’ailleurs une construction pour répondre aux cas m = 2r. Nous montrons dans ce mémoire qu’il est possible de construire des noeuds pour répondre aux cas mr à partir d’un noeud non trivial ayant un polynôme de Jones trivial modulo m. Cela permet de répondre d’une autre manière aux cas m = 2r mais aussi aux cas m = 3r. Nous donnons également une tentative de généralisation de la construction donnée par Eliahou et Fromentin, mais le manque d’exemple limite notre résultat à une vision uniquement théorique. Le crochet de Kauffman (1987) est un outil permettant de construire le polynôme de Jones à partir d’un diagramme de noeud. Ses liens avec les générateurs de l’algèbre de Temperley-Lieb, qui engendrent aussi le monoïde diagrammatique, et la théorie des tresses ont déjà été étudiés, notamment par Kauffman lui-même (1990). Nous continuons d’investiguer ses différents liens pour en apprendre plus sur le polynôme de Jones, mais aussi sur ces théories annexes. Nous apportons entre autres une nouvelle représentation matricielle des tresses, qui permet également de calculer le polynôme de Jones associé à ces tresses suivant différentes clôtures. Nous étudions aussi le monoïde diagrammatique grâce à un plongement dans les permutations, et développons à ce titre un nouveau produit sur les permutations dérivé de la composition classique.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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