Formal diagrammatic spin physics
Physique formelle de spin diagrammatique
Résumé
Diagrams are ubiquitous in physics and have catalysed progress on numerous occasions. From tensor networks and quantum circuits to Feynman diagrams, there are few areas of physics that don’t employ some informal pictorial reasoning. These diagrams represent the underlying mathematical operations and aid physical interpretation, but cannot generally be computed with directly. In this thesis the ZXH-calculus, a graphical language based on the ZX-calculus, is offered as a prototype for a formal diagrammatic calculational tool for theoretical physics involving spin. This extends the ZXH-calculus (and more broadly the ZX family of calculi to which it belongs) beyond its traditional domain which has largely been dominated by quantum computing. In order to do this the spin lattices taken from condensed matter physics are studied. It is also shown how spin-networks of the form often seen as the state-space of loop quantum gravity (LQG) can diagrammatised along with operators acting on them.To achieve this a diagrammatic form of SU(2) representation theory is outlined. Following this in condensed matter a number of results are shown. The 1D AKLT state, a symmetry protected topological state, is expressed in the ZXH-calculus by developing a representation of spins higher than 1/2 within the calculus. By exploiting the simplifying power of the ZXH-calculus rules it is shown how this representation straightforwardly recovers the AKLT matrix-product state representation, the existence of topologically protected edge states, and the non-vanishing of a string order parameter. Extending beyond these known properties, the diagrammatic approach also allows one to analytically derive that the Berry phase of any finite-length 1D AKLT chain is π. In addition, an alternative proof that the 2D AKLT state on a hexagonal lattice can be reduced to a graph state, demonstrating that it is a universal quantum computing resource. Continuing on the theme of condensed matter it is then shown how one can build 2D higher-order topological phases diagrammatically, which is used to illustrate a symmetry-breaking phase transition.Turning to LQG the first step is the analysis of Yutsis diagrams, a standard graphical calculus used in quantum chemistry and quantum gravity, which captures the main features of SU(2) representation theory. Second, it is shown how it embeds within Penrose’s binor calculus. The two are then subsumed rewritten into ZXH-diagrams. In the process we show how the SU(2) invariance of Wigner symbols is trivially provable in the ZXH-calculus. Additionally, we show how we can explicitly diagrammatically calculate 3jm, 4jm and 6j symbols. It has long been thought that quantum gravity should be closely aligned to quantum information theory. In this paper, we present a way in which this connection can be made exact, by writing the spin-networks of loop quantum gravity in the ZX-diagrammatic language of quantum computation. Finally after outlining the motivation for considering spin-networks as the quantisation of space, the geometric operators are discussed, and in specific cases diagrammatic versions of the operators are provided. More generally what is done here shows a route by which LQG can be interpreted in quantum informational terms by rewriting its kinematical states as networks of qubits in ZXH.In total these results demonstrate the that the ZXH-calculus is a powerful language for representing and and even allows for the computation on physical states entirely graphically. Within condensed matter it is hoped this will pave the way to develop more efficient many-body algorithms and giving a novel diagrammatic perspective on quantum phase transitions. In LQG it is hoped this re-imagining of its state space will spur further integration of quantum information and gravity.
Les diagrammes sont omniprésents en physique et ont catalysé le progrès à de nombreuses reprises. Des réseaux tensoriels aux circuits quantiques en passant par les diagrammes de Feynman, rares sont les domaines de la physique qui ne font pas appel à un raisonnement informel par l'image. Ces diagrammes représentent les opérations mathématiques sous-jacentes et facilitent l'interprétation physique, mais ne peuvent généralement pas être calculés directement. Dans cette thèse, le ZXH-calcul, un langage graphique basé sur le ZX-calcul, est proposé comme prototype d'un outil de calcul diagrammatique formel pour la physique théorique impliquant le spin. Cela permet d'étendre le calcul ZXH (et plus largement la famille de calculs ZX à laquelle il appartient) au-delà de son domaine traditionnel qui a été largement dominé par l'informatique quantique. Pour ce faire, les réseaux de spin issus de la physique de la matière condensée sont étudiés. Il est également montré comment les réseaux de spins de la forme souvent considérée comme l'espace d'état de la gravité quantique à boucles (LQG) peuvent être diagrammatisés avec les opérateurs qui agissent sur eux.Pour y parvenir, une forme diagrammatique de la théorie des représentations SU(2) est exposée. Un certain nombre de résultats sont ensuite présentés dans la matière condensée. L'état 1D AKLT, un état topologique protégé par symétrie, est exprimé dans le calcul ZXH en développant une représentation des spins supérieurs à 1/2 dans le calcul. En exploitant le pouvoir de simplification des règles du calcul ZXH, on montre comment cette représentation permet de retrouver directement la représentation de l'état AKLT par produit de matrice, l'existence d'états de bord topologiquement protégés et la non-vanie d'un paramètre d'ordre de chaîne. Au-delà de ces propriétés connues, l'approche diagrammatique permet également de dériver analytiquement que la phase de Berry de toute chaîne AKLT 1D de longueur finie est π. En outre, une preuve alternative que l'état AKLT 2D sur un réseau hexagonal peut être réduit à un état de graphe, démontrant qu'il s'agit d'une ressource universelle de calcul quantique. En continuant sur le thème de la matière condensée, on montre ensuite comment on peut construire des phases topologiques d'ordre supérieur en 2D de manière schématique, ce qui est utilisé pour illustrer une transition de phase avec rupture de symétrie.En ce qui concerne la LQG, la première étape est l'analyse des diagrammes de Yutsis, un calcul graphique standard utilisé en chimie quantique et en gravité quantique, qui capture les principales caractéristiques de la théorie des représentations SU(2). Ensuite, on montre comment il s'intègre dans le calcul de binor de Penrose. Les deux sont ensuite subsumés et réécrits en diagrammes ZXH. Dans ce processus, nous montrons comment l'invariance SU(2) des symboles de Wigner peut être prouvée de manière triviale dans le calcul ZXH. En outre, nous montrons comment nous pouvons calculer explicitement les symboles 3jm, 4jm et 6j dans le diagramme. On pense depuis longtemps que la gravité quantique devrait être étroitement liée à la théorie de l'information quantique. Dans cet article, nous présentons une façon de rendre cette connexion exacte, en écrivant les réseaux de spin de la gravité quantique à boucles dans le langage ZX-diagrammatique du calcul quantique. Enfin, après avoir exposé les raisons de considérer les réseaux de spins comme la quantification de l'espace, nous discutons des opérateurs géométriques et, dans des cas spécifiques, nous fournissons des versions diagrammatiques des opérateurs. Plus généralement, ce qui est fait ici montre une voie par laquelle LQG peut être interprété en termes d'information quantique en réécrivant ses états cinématiques comme des réseaux de qubits dans ZXH.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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