Sewing, Reconstruction and Schauder in rough analysis and regularity structures - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2022

Sewing, Reconstruction and Schauder in rough analysis and regularity structures

Couture, reconstruction et Schauder en analyse rugueuse et structures de régularité

Résumé

In this thesis, we derive analytic results related to the theories of Rough Paths and Regularity Structures, with the point of view of germs, that is, families of local approximations of functions or distributions. We first establish a Sewing Lemma in the regime 0 < γ ≤ 1, giving a construction which is non unique nor canonical but still continuous. As a corollary, we exhibit a bicontinuous parametrisation of the set of Rough Paths by a product of Hölder spaces, generalising both the Lyons--Victoir extension theorem and a recent result by Tapia--Zambotti. Secondly, we propose a Reconstruction Theorem in the context of Besov spaces, generalising results of Hairer--Labbé and Caravenna--Zambotti. As a corollary, we provide a new proof of the multiplication theorem in Besov spaces without relying on paraproducts. Finally, we study the regularising properties of singular kernels against germs. A first result is the construction of a convolution map which acts on general coherent and homogeneous germs. We also revisit Hairer's multilevel Schauder estimates, providing a presentation and a proof which make only minimal references to the formalism of regularity structures.
Dans cette thèse, nous obtenons des résultats analytiques liés aux théories des chemins rugueux et des structures de régularité, du point de vue des germes, c’est-à-dire des familles d’approximations locales de fonctions ou distributions. D’abord, nous établissons un lemme de couture dans le régime 0 < γ ≤ 1, donnant une construction qui n’est pas unique ni canonique mais tout de même continue. En corollaire, nous exhibons une paramétrisation bicontinue de l’ensemble des chemins rugueux par un produit d’espaces de Hölder, généralisant à la fois le théorème d’extension de Lyons–Victoir et un résultat récent de Tapia–Zambotti. Ensuite, nous proposons un théorème de reconstruction dans le contexte des espaces de Besov, généralisant des résultats de Hairer–Labbé et Caravenna–Zambotti. En corollaire, nous donnons une nouvelle preuve du théorème de multiplication dans les espaces de Besov, sans utiliser de paraproduits. Enfin, nous étudions les propriétés régularisantes des noyaux singuliers contre les germes. Un premier résultat est la construction d’une application de convolution qui agit sur les germes cohérents et homogènes. Nous revisitons ensuite les estimées de Schauder multiniveaux de Hairer, donnant une présentation et une preuve qui font référence aussi peu que possible au formalisme des structures de régularité
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Origine : Version validée par le jury (STAR)

Dates et versions

tel-03865422 , version 1 (22-11-2022)

Identifiants

  • HAL Id : tel-03865422 , version 1

Citer

Lucas Broux. Sewing, Reconstruction and Schauder in rough analysis and regularity structures. Probability [math.PR]. Sorbonne Université, 2022. English. ⟨NNT : 2022SORUS278⟩. ⟨tel-03865422⟩
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