Nous généralisons le résultat de compatibilité local-global dans [Sch18] aux cas de dimension supérieure, en examinant la relation entre le foncteur de Scholze et la cohomologie des variétés de Shimura de type Kottwitz-Harris-Taylor. En chemin, nous prouvons un critère de cuspidalité de la théorie des types. Nous traitons également de la compatibilité des classes de torsion dans le cas des représentations semi-simples mod p Galois sans multiplicité, sous certaines hypothèses de platitude. Enfin, nous enlevons la condition sur semisimplicité et la remplaçons par la condition beaucoup plus faible d'être sans multiplicité. Ce dernier résultat est obtenu en collaboration avec Z. Qian.