Low Froude regime and implicit kinetic schemes for the Saint-Venant system
Régime bas Froude et schémas cinétiques implicites pour les équations de Saint-Venant
Résumé
In this thesis we study implicit time discretizations for the Saint-Venant system. First we consider the issue of the low Froude regime in the two dimensional case. The ability to seamlessly transition towards this limiting regime poses two main issues, namely the computational cost of handling fast scales and the correct description of the asymptotic dynamic. The former is traditionally dealt with the use of implicit-explicit time integrators, whereas the latter requires the numerical error to be uniformly bounded with respect to the scale parameter. Especially, it is important for nearly incompressible states to satisfy some form of stability. This motivates the refinement of an existing criterion allowing to predict whether a scheme is accurate at low Froude numbers, which we validate through numerical examples. Furthermore the proposed semi-implicit schemes are based on a wave splitting enabling the well balanced property.
Then we focus on kinetic schemes for the one dimensional Saint-Venant system. In the case of a flat bathymetry, we obtain a fully implicit scheme preserving the water height positivity and admitting a discrete entropy inequality without any restriction on the time step. A simplified version of this scheme allows to explicitly rewrite the update at the macroscopic level. In order to account for varying bottoms, we examine an iterative strategy making use of the hydrostatic reconstruction. This approach requires a CFL condition to converge, in exchange of what we obtain a positive update with a discrete entropy inequality that always dissipates the energy of the system. This is an improvement over the fully explicit version of the scheme, which can sometimes increase the energy. We perform numerical tests to assess the efficiency and qualitative aspects of the proposed schemes.
Dans cette thèse nous étudions des discrétisations en temps implicites pour le système de Saint-Venant. Premièrement nous considérons la question du régime bas Froude dans le cas bidimensionnel. L'aptitude à transitionner vers le régime limite de manière transparente pose principalement deux problèmes, à savoir le coût de calcul associé à la gestion des échelles rapides et la bonne description de la dynamique asymptotique. Le premier point est traditionnellement traité par l'utilisation d'intégrateurs en temps implicite-explicite, tandis que le second nécessite d'avoir une erreur numérique uniformément bornée par rapport au paramètre d'échelle. En particulier, il est important pour les états quasi incompressibles de satisfaire une certaine forme de stabilité. Ceci motive le raffinement d'un critère existant permettant de prédire si un schéma est précis à bas nombre de Froude, ce que nous validons par l'intermédiaire d'exemples numériques. De plus les schémas semi-implicites proposés sont basés sur un splitting d'onde propice à la préservation de l'équilibre hydrostatique.
Nous nous concentrons ensuite sur des schémas cinétiques pour le système de Saint-Venant unidimensionnel. Dans le cas d'une bathymétrie plate, nous obtenons un schéma entièrement implicite préservant la positivité de la hauteur d'eau et admettant une inégalité d'entropie discrète sans aucune restriction sur le pas de temps. Une version simplifiée de ce schéma permet de réécrire explicitement la mise-à-jour au niveau macroscopique. Afin de prendre en compte les fonds variables, nous examinons une stratégie itérative faisant appel à la reconstruction hydrostatique. Cette approche requiert une condition CFL pour converger, en échange de quoi nous obtenons une mise-à-jour positive avec une inégalité d'entropie discrète qui dissipe toujours l'énergie du système. Ceci est une amélioration par rapport à la version entièrement explicite du schéma, qui peut parfois accroître l'énergie. Nous effectuons des tests numériques pour évaluer l'efficacité et les aspects qualitatifs des schémas proposés.
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