Mean field games with free final time
Jeux à champ moyen à temps final libre
Résumé
Motivated by economical and engineering topics, around 2006, mean field games were introduced by Jean-Michel Lasry and Pierre-Louis Lions, and Peter E.~Caines, Minyi Huang and Roland P.~Malhamé, independently. This thesis addresses some mean field games models with free final time.In the first chapter, we consider several interacting populations evolving in R aiming at reaching given target sets in minimal time. The control system satisfied by each agent depends on an agent's position, the distribution of other agents in the same population, and the distribution of agents on other populations. Thus, interactions between agents occur through their dynamics. We consider in this chapter the existence of Lagrangian equilibria to this mean field game, their asymptotic behavior, and their characterization as solutions of a mean field game system, under few regularity assumptions on agents' dynamics. In particular, the mean field game system is established without relying on semiconcavity properties of the value function.Similarly to the first chapter, in the second chapter, we consider a mean field game model inspired by crowd motion where agents aim to reach a closed set, called target set, in minimal time, however in addition to congestion phenomena, which affects the velocity of an agent, the model is considered in the presence of state constraints: roughly speaking, these constraints may model walls, columns, fences, hedges, or other kinds of obstacles at the boundary of the domain which agents cannot cross. We first recall some previous results on the existence of equilibria for such games and presents the main difficulties that arise due to the presence of state constraints. Our main contribution is to show that equilibria of the game satisfy a mean field game system, thanks to recent techniques to characterize optimal controls in the presence of state constraints. These techniques not only allow to deal with state constraints but also require very few regularity assumptions on the dynamics of the agents.In our last chapter, we consider a mean field game model for crowd motion in which pedestrians interact not only through their position, but also through their velocity. More precisely, each pedestrian is assumed to minimize a cost involving their time to reach a certain target set, an individual integral cost, and an interaction integral cost modelling the fact that agents want to avoid congestion and prefer to move together with agents going in the same direction, in which can be seen as a Cucker--Smale type interaction. The main result we obtain in this chapter is the existence of equilibria for such a game, which is based on a variational approach.
Motivé par des sujets économiques et d'ingénierie, vers 2006, les jeux à champ moyen ont été introduits par Jean-Michel Lasry et Pierre-Louis Lions, et Peter E.~Caines, Minyi Huang et Roland P.~Malhamé, indépendamment. Cette thèse aborde des modèles de jeux à champ moyen avec temps final libre.Dans le premier chapitre, nous considérons plusieurs populations en interaction évoluant dans R visant à atteindre des ensembles cibles donnés en un minimum de temps. Le système de contrôle satisfait par chaque agent dépend de sa position, de la répartition des autres agents de la même population et de la répartition des agents des autres populations. Ainsi, les interactions entre agents se font par leur dynamique. Nous considérons dans ce chapitre l'existence d'équilibres lagrangiens à ce jeu à champ moyen, leur comportement asymptotique et leur caractérisation comme solutions d'un système de jeu à champ moyen, sous quelques hypothèses de régularité sur la dynamique des agents. En particulier, le système de jeu de champ moyen est établi sans s'appuyer sur les propriétés de semi-concavité de la fonction de valeur.De manière similaire au premier chapitre, dans le deuxième chapitre, nous considérons un modèle de jeu à champ moyen inspiré du mouvement de foule où les agents visent à atteindre un ensemble fermé, appelé ensemble cible, en un temps minimal, mais en plus des phénomènes de congestion, qui affectent la vitesse de un agent, le modèle est considéré en présence de contraintes d'état : en gros, ces contraintes peuvent modéliser des murs, des colonnes, des clôtures, des haies ou d'autres types d'obstacles à la frontière du domaine que les agents ne peuvent pas franchir. Nous rappelons tout d'abord quelques résultats antérieurs sur l'existence d'équilibres pour de tels jeux et présentons les principales difficultés liées à la présence de contraintes d'état. Notre principale contribution est de montrer que les équilibres du jeu satisfont un système d'équations aux dérivées partielles couplées, connu sous le nom de système de jeu à champ moyen, grâce à des techniques récentes de caractérisation des contrôles optimaux en présence de contraintes d'état. Ces techniques permettent non seulement de traiter des contraintes d'état mais nécessitent également très peu d'hypothèses de régularité sur la dynamique des agents.Dans notre dernier chapitre, nous considérons un modèle de jeu à champ moyen pour le mouvement de foule dans lequel les piétons interagissent non seulement par leur position, mais aussi par leur vitesse. Plus précisément, chaque piéton est supposé minimiser un coût impliquant son temps pour atteindre un certain ensemble cible, un coût intégral individuel et un coût intégral d'interaction modélisant le fait que les agents veulent éviter les régions trop denses et préfèrent se déplacer avec les agents allant dans la même direction qu'eux, ce qui peut être vu comme une interaction de type Cucker--Smale. Le résultat principal que nous obtenons dans ce chapitre est l'existence d'équilibres pour un tel jeu, qui est basé sur une approche variationnelle.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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