Statistical estimation for collective dynamics
Estimation statistique pour les dynamiques collectives
Résumé
This thesis lies at the crossroads of non-parametric and parametric Statistics of processes, and parabolic partial differential equations analysis. The aim of the present work was to obtain informations about the flow of probability measures solution of a nonlinear FokkerPlanck-Kolmogorov equation, known as McKean-Vlasov equation, and about the drift coefficient of this equation, thanks to the continuous observation of the solution of a linear system of interacting diffusions as an approximation in a mean-field limit, i.e. as the number of particles in this system grows to infinity. In a first part, we present our results when the drift coefficient depends on an unknown parameter. We follow the estimation program of Ibragimov and Hasminskii : we show that our model verifies the local asymptotic normality property, and we deduce from it precise properties of convergence and asymptotic normality of the maximum likelihood estimator of the parameter. We give a new criterium for verifying that this statistical problem is non-degenerate and identifiable. In a second part, we present our results when the drift coefficient is unknown, but lies in a certain class of functions characterized by their regularity : the local Holder functions. This part relies on a new Bernstein type concentration inequality, and on nonparametric statistics tools : we build adaptive kernel estimators of the density solution of the McKean-Vlasov equation and of its drift, and we show that these estimators are optimal in a minimax sense for a pointwise risk. Finally, we construct an estimator of the interaction force in the case of a Vlasov type drift by means of a deconvolution method.
Cette thèse se situe à l’interface de la Statistique, paramétrique et non-paramétrique, des processus stochastiques, et de l’analyse des équations aux dérivées partielles paraboliques. Le fil conducteur des travaux présentés ici a été d’obtenir des informations sur le flot de mesures de probabilités, solution d’une équation de Fokker-Planck-Kolmogorov non-linéaire, dite équation de McKean-Vlasov, et sur le coefficient de drift de cette équation, à l’aide de l’observation continue de la solution du système linéaire de diffusions en interaction l’approchant en limite de champ moyen, i.e. quand le nombre de particules de ce système croît vers l’infini.Dans une première partie, nous présentons les résultats obtenus quand le coefficient de drift dépend d’un paramètre inconnu. Nous suivons le programme d’estimation de Ibragimov et Hasminskii : nous montrons que la propriété de normalité locale asymptotique est vérifiée par ce modèle et nous en déduisons des propriétés fines de convergence et de normalité asymptotique de l’estimateur du maximum de vraisemblance de ce paramètre. Nous proposons un nouveau critère de vérification de la non-dégénérescence et de l’identifiabilité de ce problème statistique. Dans une deuxième partie, nous présentons les résultats obtenus quand le coefficient de drift est inconnu, mais appartient à une certaine classe de fonctions caractérisées par leur régularité : les fonctions localement höldériennes. Cette partie repose sur une nouvelle inégalité de concentration de type Bernstein, et sur des techniques de statistique non-paramétrique : nous construisons des estimateurs à noyaux adaptatifs de la densité solution de l'équation de McKean-Vlasov et de son drift à l’aide de la méthode de Goldenshluger-Lepski, et nous montrons que ces estimateurs sont optimaux au sens minimax pour un risque ponctuel. Enfin, nous construisons un estimateur de la force d’interaction dans le cas d’un drift de type Vlasov a l’aide d’une méthode de déconvolution.
Mots clés
Nonparametric statistics
Parametric statistics
Statistics of stochastic processes
McKean-Vlasov model
Interacting particle systems
Mean-field limit
Propagation of chaos
Concentration inequalities
Nonlinear Parabolic Partial differential equation
Nonlinear Fokker-Planck-Kolmogorov equation
Adaptive minimax estimation
Local Asymptotic Normality
Ibragimov-Hasminski’s program
Maximum likelihood estimator
Oracle inequality
Kernel estimation
Bandwidth selection
Goldenshluger-Lepski’s method
Deconvolution
Statistique paramétrique/non-paramétrique
Statistique des processus aléatoires
Modèle de McKean-Vlasov
Systèmes de particules en interaction
Limite de Champ moyen
Propagation du chaos
Inégalités de concentration
Equation aux derivées partielles paraboliques non-linéaires
Equation de Fokker-Planck-Kolmogorov non-linéaire
Espaces de Hölder
Estimation minimax adaptative
Normalite locale asymptotique
Programme d’Ibragimov-Hasminski
Estimateur du maximum de vraisemblance
Inégalités oracles
Estimateurs à noyaux
Sélection de fenêtres
Méthode de Goldenshluger-Lepski
Déconvolution
Domaines
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