On the stochastic filtering of max-plus linear systems
Sur le filtrage stochastique de systèmes max-plus linéaires
Résumé
A wide range of man-made systems, such as •telecommunications networks; •manufacturing systems; •computer systems; in which evolution is governed by events, typically a signal arrival or the completion of a task, have been called since the early 1970s "Discrete Event Systems" (DES) . Among DES, a particular class of systems with synchronization and delay phenomena can be modeled by linear equations in (max,+)- type algebras. This property motivated the development of the so-called Max-Plus Linear (MPL) systems theory. This theory has many analogies with the conventional theory of continuous linear systems and allows in particular to address control problems. The control problem studied in this thesis concerns the state estimation of MPL dy namical systems. Based on recent work on stochastic filtering of MPL systems and inspired by Bayesian filtering, we propose a new approach that is less expensive,but equally efficient. As for classical Bayesian filtering, our approach is two-fold : a prediction step and a correction step. The prediction step developed in this thesis is based on Max-Plus polyhedra. This new approach allows, during the prediction step, to compute the support of the prior probability density function (PDF) with a strongly polynomial complexity. We also show that, under certain conditions related to the observability matrix, the correction step, which corresponds to take into account measurement information in order to shrink the support of the prior PDF, is computed with quadratic complexity. We are then looking for a solution to improve the performance of the filter. The objective is to evaluate the quality of the prediction with respect to the errors of the measurements induced by the noise. This leads usto introduce a criterion to minimize the estimation error. Finally, we devote the last part to the study of a filtering algorithm for MPL systems in implicit form. We show that this algorithm makes it possible to take into account the dependency problems between the inputs of the systemmatrices of MPL systems. These dependencies between state variables being intrinsic to MPL systems.
Dans un certain nombre de systèmes conçus par l’homme, tels que •les réseaux de télécommunication ; •les systèmes de production ; •les systèmes informatiques ; dans lesquels l’évolution est régie par des événements ponctuels, typiquement l’arrivée d’un signal ou l’achèvement d’une tâche, sont appelés depuis le début des années 70 "Systèmes à Événements Discrets" (SED). Parmi les SED, une classe particulière de systèmes mettant en œuvre des phénomènes de synchronisation et de retards peut être modélisée par des équations linéaires dans les algèbres de type (max,+). Cette propriété a motivé l’élaboration de ce que l’on appelle communément la théorie des systèmes Max-Plus Linéaires (MPL). Cette théorie présente de nombreuses analogies avec la théorie conventionnelle des systèmes linéaires continus et permet notamment d’aborder des problèmes de commandes. Le problème de commande étudié dans cette thèse porte sur l’estimation d’état des systèmes dynamiques MPL. Partant de travaux récents sur le filtrage stochastique des systèmes MPL et en s’inspirant du filtrage Bayésien, nous proposons une nouvelle approche moins coûteuse, mais tout aussi performante. Comme pour le filtrage Bayésien classique, notre approche est composée de deux étapes : une étape de prédiction et une étape de correction. L’étape de prédiction développée dans cette thèse est basée sur les polyèdres Max-Plus. Cette nouvelle approche permet, lors de l’étape de prédiction, de calculer le support de la densité de probabilité (PDF) a priori avec une complexité polynomiale. Nous montrons également que, sous certaines conditions liées à la matrice d’observabilité, l’étape de correction, qui correspond à la prise en compte de l’information apportée par la mesure afin de raffiner le support de la PDF a priori, est calculable avec une complexité quadratique. Nous cherchons ensuite une solution permettant d’améliorer les performances du filtre. L’objectif est d’évaluer la qualité de la prédiction par rapport aux erreurs des mesures induites par le bruit. Cela nous amène à introduire un critère permettant de minimiser l’erreur d’estimation. Enfin, nous consacrons la dernière partie à l’étude d’un algorithme de filtrage pour les systèmes MPL sous forme implicite. Nous montrons que cet algorithme permet de prendre en compte les problèmes de dépendance entre les entrées des matrices d’état d’un système MPL. Ces dépendances entre les variables d’états étant intrinsèques aux systèmes MPL
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