Spanning Forests and phase transition - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2023

Spanning Forests and phase transition

Forêts couvrantes et transition de phase

Résumé

The aim of this thesis is to study a model of spanning forests on a graph endowed with a vector-bundle and a unitary connection. For rank-1 vector-bundles, the combinatorial configurations are spanning forests of random unicycles sampled according to a determinantal law. For vector-bundles of arbitrary rank, the random collection of edges is replaced by a random collection of subspaces of the fibers. For a unitary periodic connection, we establish an integral formula for the kernel of this process, revealing two phases, characterized by the asymptotic behavior of the long-distance correlations. We also study probability measures on spanning forests of unicycles on increasing finite graph sequences, depending on a weight function on the cycles. We show that under certain assumptions on the weight function, the limit does not depend on the boundary conditions and can be sampled by a loop-erased random walk algorithm. Under other assumptions, we prove results on the asymptotic rate of decay of correlations with the distance, and the size of related components, which apply in particular to the determinantal case. Finally, we formulate a correspondence between complex rank-2 vector-bundles and rank-1 vector-bundles on the quaternion field, and observe the existence of two phases, for a periodic unitary quaternionic connection, depending on the commutativity or non-commutativity of the quaternions weights, one corresponding to the usual model of uniform spanning forests and the other corresponding to a model for which some finite unicycles are observed infinitely many times.
L'objectif de cette thèse est d'étudier un modèle de forêts couvrantes sur un graphe muni d'un fibré vectoriel et d'une connexion unitaire. Pour les fibrés de rang 1, les configurations, combinatoires, sont des forêts couvrantes d'unicycles aléatoires tirées selon une loi déterminantale. Pour les fibrés de rang quelconque, la collection aléatoire d'arêtes est remplacée par une collection aléatoire de sous-espaces des fibres. Pour une connexion périodique unitaire, nous établissons une formule intégrale pour le noyau du processus, mettant en évidence deux phases, caractérisées par le comportement asymptotique des corrélations à grande distance.Nous étudions par ailleurs des mesures de probabilités sur les forêts couvrantes d'unicycles sur des suites de graphes finis croissants, dépendant d'une fonction de poids sur les cycles. Nous montrons que sous certaines hypothèses sur la fonction de poids, la limite ne dépend pas des conditions au bord et peut être échantillonnée par un algorithme de marches aléatoires à boucles effacées. Sous d'autres hypothèses, nous prouvons des résultats sur la vitesse asymptotique de décroissance des corrélations avec la distance, et la taille des composantes connexes, qui s'appliquent en particulier au cas déterminantal.Nous formulons enfin une correspondance entre les fibrés de rang 2 complexes et les fibrés de rang 1 sur le corps des quaternions, et observons, pour une connexion quaternionique unitaire et périodique, deux phases selon l'aspect commutatif ou non des quaternions, l'une correspondant au modèle usuel de forêts couvrantes uniformes et l'autre correspondant à un modèle pour lequel certains unicycles finis sont observés une infinité de fois.
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CONSTANTIN_Heloise_2023ENSL0039_These.pdf (1.73 Mo) Télécharger le fichier
Origine : Version validée par le jury (STAR)

Dates et versions

tel-04197144 , version 1 (05-09-2023)

Identifiants

  • HAL Id : tel-04197144 , version 1

Citer

Héloïse Constantin. Spanning Forests and phase transition. Probability [math.PR]. Ecole normale supérieure de lyon - ENS LYON, 2023. English. ⟨NNT : 2023ENSL0039⟩. ⟨tel-04197144⟩
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