Kinetic equations, functional inequalities, and distances in the space of probability measures - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2023

Kinetic equations, functional inequalities, and distances in the space of probability measures

Equations cinétiques, inégalités fonctionnelles et distances dans l'espace des mesures de probabilité

Résumé

This thesis concerns kinetic Fokker-Planck equations, stability of functionals inequalities, and non linear Dirichlet forms. Constructive convergence rates to equilibrium for kinetic equations are computed via a functional analytic framework based on weak norms of solutions. The Vlasov-Fokker-Planck equation, with the space variable confined in a torus, is analysed asa benchmark. Then, the same strategy is generalised to a wide class of kinetic Fokker-Planck models. We also consider Gagliardo-Nirenberg inequalities on the sphere, interpolating between the Poincaré and the Sobolev inequalities. We prove constructive stability results, in the strongest possible norm, with sharp exponents in the stability term. The latter degenerates on a finite-dimensional subspace requiring additional care. Our technique combines Taylor expansions, harmonic analysis, and (non) linear diffusion flows. We rigorously prove convergence of the Gagliardo-Nirenberg family,for the dimension of the sphere approaching infinity, to the Gaussian Beckner inequalities. Then, we give constructive stability results for those, using non linear diffusion flows on the Gaussian space. Finally, we treat the Gaussian logarithmic Sobolev inequality as a limit case. We find explicit stability estimates for log-concave or compactly-supported densities, thanks to the interplay between log-concavity and the Ornstein-Uhlenbeck flow, improving on the carré du champ method.We contribute to the theory of nonlinear Dirichlet forms. We extend the normal contraction property to the non linear setting.The proof adopts a new strategy, based on the approximation of real Lipschitz functions with repeated compositions of elementary piece wise linear functions.
Cette thèse est consacrée aux équations cinétiques de Fokker-Planck, à la stabilité des inégalités fonctionnelles et aux formes de Dirichlet non linéaires. Des taux de convergence vers l'équilibre sont estimés via un cadre analytique fonctionnel basé sur les normes faibles des solutions. L'équation de Vlasov-Fokker-Planck, avec variable de position confinée dans un tore, est analysée comme modèle de référence. La même stratégie est ensuite étendue à une large classe de modèles cinétiques. Nous considérons également des inégalités de Gagliardo--Nirenberg sur la sphère qui interpolent entre les inégalités de Poincaré et les inégalités de Sobolev. Nous prouvons des résultats constructifs de stabilité, dans la norme la plus forte possible, avec des exposants optimaux. Le terme de stabilité dégénère sur un sous-espace de dimension finie, ce qui nécessite des précautions supplémentaires. Notre technique combine des développements de Taylor, l'analyse harmonique et des méthodes paraboliques. Nous prouvons rigoureusement la convergence de la famille de Gagliardo-Nirenberg sur la sphère vers les inégalités de Beckner gaussiennes dans la limite de grandes dimensions. Ensuite, nous donnons des résultats constructifs de stabilité, en utilisant des diffusions non linéaires sur l'espace gaussien. Enfin, nous traitons l'inégalité de Sobolev logarithmique gaussienne comme cas limite. Nous trouvons des estimations explicites de stabilité pour des densités log-concaves ou à support compact par un argument de log-concavité déduit du flot d'Ornstein--Uhlenbeck et de la méthode du carré du champ. Nous contribuons à la théorie des formes de Dirichlet non-linéaires en étendant la propriété de contraction normale. La preuve adopte une nouvelle stratégie, basée sur l'approximation des fonctions Lipschitz réelles par des compositions répétées de fonctions linéaires par morceaux simples.
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Origine : Version validée par le jury (STAR)

Dates et versions

tel-04199902 , version 1 (08-09-2023)

Identifiants

  • HAL Id : tel-04199902 , version 1

Citer

Giovanni Brigati. Kinetic equations, functional inequalities, and distances in the space of probability measures. Quantum Algebra [math.QA]. Université Paris sciences et lettres; Università degli studi (Pavie, Italie); Università degli studi di Milano - Bicocca; Istituto nazionale di alta matematica Francesco Severi (Italie (Rome)); Università degli Studi di Firenze, 2023. English. ⟨NNT : 2023UPSLD001⟩. ⟨tel-04199902⟩
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