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Thèse Année : 2023

Analysis of certain integrable models via random matrices

Analyse de certains modèles intégrables grâce aux matrices aléatoires

Ronan Memin
  • Fonction : Auteur
  • PersonId : 1292955
  • IdRef : 27250422X

Résumé

This thesis aims at establishing in a mathematically rigorous way certain aspects of a link between integrable systems and random matrices. Motivated by the understanding of the hydrodynamic scale of integrable systems, Herbert Spohn recently discovered that it is possible to study the statistical properties of integrable systems by comparing them to well known random matrix models: the β-ensembles.The systems we are considering are particle systems evolving with time, following a nearest neighbours interaction. For those systems, « integrable » means that a lot of independent quantities are conserved along the flow of the dynamic. This very special property allows one to derive exact formulas, handy -in principle- to analyse them. However, those formulas can be complicated and it is convenient to link their analysis to the one of random matrices. Our key example is the one of the Toda chain; a particle system evolving through a nonlinear potential. A direct way to establishing its integrability is showing the existence of a Lax pair: the dynamic is encoded by the evolution of two matrices B and L, called the Lax matrices, the eigenvalues of L being independent of time. In this thesis, by « integrable system » we mean « system possessing a Lax pair ». To understand the macroscopic properties of those systems, one adopts a statistical point of view. We make the assumption that locally, the system is random, distributed according to a certain time invariant probability measure, called Generalized Gibbs Ensemble. Under this hypothesis, the matrix L reduces to a time independent random matrix, whose eigenvalues we aim at understanding. For the integrable systems we consider, we observe that the Lax matrices ressemble well known matrix models: representations of the so called β-ensembles. For instance, in the case of the Toda chain, the Lax matrix is reminiscent of the tridiagonal representation of the real β-ensemble, discovered by Dumitriu and Edelman.The β-ensembles are among the few examples of random matrices where it is possible to explicitly compute the law of the spectrum. Their statistical properties are therefore well studied. To compare integrable systems and β-ensembles, we adopt the high temperature setting, where β scales like 1/N, N being the number of particles. In this context, this thesis establishes mathematically the correspondance between integrable systems and β-ensembles under two points of view: the one of large deviations and of the limiting measure of eigenvalues, and the one of the fluctuations around the limit.
Cette thèse vise à établir de manière mathématiquement rigoureuse certains aspects d’un lien entre systèmes intégrables et matrices aléatoires. Motivé par la compréhension de l’échelle hydrodynamique des systèmes intégrables, Herbert Spohn a récemment remarqué qu’il est possible d’étudier les propriétés statistiques de ces systèmes en les comparant à des ensembles de matrices pour lesquelles on a accès à la loi du spectre : les β-ensembles. Les systèmes que nous considérons sont des systèmes de particules qui évoluent dans le temps selon une interaction aux plus proches voisins. Le qualificatif "intégrable" signifie qu’un grand nombre de quantités indépendantes sont conservées le long de la dynamique. Cette propriété très spéciale permet d’accéder, en principe, à des formules permettant d’analyser ces systèmes. Cependant, ces formules peuvent être compliquées et il est commode de relier leur étude à celle de matrices aléatoires. Notre exemple clé est celui de la chaîne de Toda, un système de particules interagissant selon un potentiel non linéaire. Une manière directe de démontrer son intégrabilité est d’établir l’existence d’une paire de Lax : la dynamique est encodée par l’évolution de deux matrices B et L, appelées matrices de Lax, où les valeurs propres de L sont conservées dans le temps. Dans cette thèse, par « système intégrable », on entend « système possédant une paire de Lax ». Pour comprendre les propriétés macroscopiques de ces systèmes, il est nécessaire d’adopter un point de vue statistique. On fait l’hypothèse que localement, le système est à l’équilibre : aléatoire, distribué selon une loi de probabilité bien précise, appelée Ensemble de Gibbs Généralisé, qui est invariante dans le temps. Sous cette hypothèse, il s’agit alors de comprendre la distribution de la matrice de Lax L lorsque le système est distribué selon les mesures invariantes de Gibbs : la matrice de Lax devient une matrice aléatoire dont on vise à comprendre les valeurs propres.Pour les différents systèmes intégrables considérés, on observe que les matrices de Lax ressemblent à des matrices bien connues : des représentations matricielles des β-ensembles. Par exemple, dans le cas de la chaîne de Toda, la matrice de Lax ressemble à la représentation tridiagonale du β-ensemble réel, découverte par Dumitriu et Edelman. Les β-ensembles font partie des rares exemples où il est possible de donner explicitement la loi du spectre de matrices aléatoires. Leurs propriétés statistiques sont donc très étudiées. Pour comparer systèmes intégrables et β-ensembles, on se place dans les β-ensembles à grande température, c’est à dire dans le régime où β est de l’ordre de 1/N, N étant le nombre de particules. Dans ce contexte, cette thèse établit mathématiquement la correspondance entre systèmes intégrables et β-ensembles sous deux points de vue : celui des grandes déviations et de la mesure limite, et celui des fluctuations autour de la limite.
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Origine : Version validée par le jury (STAR)

Dates et versions

tel-04236939 , version 1 (11-10-2023)

Identifiants

  • HAL Id : tel-04236939 , version 1

Citer

Ronan Memin. Analysis of certain integrable models via random matrices. Mathematical Physics [math-ph]. Ecole normale supérieure de lyon - ENS LYON, 2023. English. ⟨NNT : 2023ENSL0054⟩. ⟨tel-04236939⟩
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