Le travail faisant l'objet de cette thèse s'inscrit dans le domaine de l'étude des méthodes numériques pour les équations aux dérivées partielles et porte une attention particulière aux schémas de Boltzmann sur réseau. Cette classe de schémas est utilisée depuis la fin des années '80, en particulier en mécanique des fluides, et se caractérise par sa grande rapidité. Cependant, les méthodes de Boltzmann sur réseau sont très gourmandes en termes d'espace mémoire et conçues pour des maillages Cartésiens uniformes. De plus, nous manquons d'outils théoriques généraux qui permettent d'en analyser la consistance, la stabilité et enfin la convergence. Le travail de thèse s'articule autour de deux axes principaux. Le premier consiste à proposer une stratégie permettant d'appliquer les méthodes de Boltzmann sur réseau à des grilles de calcul non-uniformes adaptées dynamiquement en temps, afin de réduire le coût de calcul et de stockage. Le fait de pouvoir contrôler l'erreur commise et d'être en mesure d'employer la méthode quel que soit le schéma de Boltzmann sous-jacent sont des contraintes supplémentaires à prendre en compte. Pour cela, nous proposons d'adapter dynamiquement le réseau ainsi que d'ajuster toute méthode de Boltzmann à des maillages non-uniformes en nous appuyant sur la multirésolution. Cela a permis de proposer un cadre innovant pour des maillages mobiles en respectant les contraintes posées. Ensuite, nous démontrons que la méthode proposée présente d'excellentes propriétés en termes de perturbations introduites sur le schéma originel et qu'elle permet ainsi de réduire les phénomènes parasites liés aux maillages adaptés. L'implémentation de cette procédure dans un logiciel ouvert, permettant de représenter et gérer des grilles adaptées par différentes approches dans un cadre unifié et innovant, est ensuite abordée. Le second axe de recherche consiste à donner un cadre mathématiquement rigoureux aux méthodes de Boltzmann sur réseau, lié en particulier à leur consistance vis-à-vis des EDPs visées, leur stabilité et donc leur convergence. Pour cela, nous proposons une procédure, basée sur des résultats d'algèbre, pour éliminer les moments non-conservés de n'importe quel schéma de Boltzmann sur réseau, en le transformant en un schéma aux différences finies multi-pas sur les moments conservés. Les notions de consistance et stabilité pertinentes pour les méthodes de Boltzmann sur réseau sont donc celles des schémas aux différences finies. En particulier, tous les résultats concernant ces derniers, entre autres le théorème de Lax, se transpose naturellement aux schémas de Boltzmann sur réseau. Une étape ultérieure consiste à étudier la consistance et la stabilité directement sur le schéma de départ sans devoir calculer sa méthode aux différences finies ``correspondante''. Cela permet d'en obtenir les équations modifiées et de montrer le bien-fondé des analyses de stabilité à la von Neumann couramment utilisées au sein de la communauté. Ce nouveau cadre théorique permet aussi d'étudier l'influence de l'initialisation des méthodes sur le résultat des simulations ainsi que d'entamer des études préliminaires sur la monotonie des schémas de Boltzmann sur réseau et sur leurs conditions aux limites, qui constituent des ouvertures pour des travaux futurs.