Hybrid optimal control: optimality conditions and applications
Contrôle optimal hybride: conditions d’optimalité et applications
Abstract
This thesis deals with the mathematical field of optimal control theory, specifically focusing on spatially hybrid optimal control problems. Here, the term spatially indicates that we consider a hybrid control system defined over a partition of the state space that is divided into disjoint regions. Furthermore, we assume that the control system depends on a regionally switching parameter, which remains constant within each region but can change its value when the state position crosses boundaries. This new framework allows us to address control systems that includes loss control regions, which presents our initial motivation. In such systems, given a partition of the state space, the control behavior varies depending on the position of the state. It can be modified at any time (referred to as permanent controls) when the state belongs to regions referred to as control region, or it can remain constant when the state belongs to regions referred to as loss control regions. In both frameworks, our goals are, first, to to derive a spatially hybrid maximum principle (in short, HMP) with regionally switching parameter, second, to derive a Pontryagin maximum principle with loss control regions, and third, to provide a numerical approach allowing to solve optimal control problems with loss control regions. To achieve these purposes, we introduce new tools and concepts that address certain challenges that can arise in a spatially hybrid setting. Specifically, based on careful investigation, we identify two main challenges: the nonadmissibility of needle-like perturbations and the inability to directly apply the well-known augmentation technique in a spatially hybrid setting.
Cette thès aborde le domaine mathématique de la théorie du contrôle optimal en se concentrant spécifiquement sur les problèmes de contrôle optimal hybrides spatiaux. Ici, le terme spatial indique que nous considérons un système de contrôle hybride défini sur une partition de l'espace d'état qui est divisée en régions disjointes. De plus, nous supposons que le système de contrôle dépend d'un paramètre régional qui reste constant à l'intérieur de chaque région, mais peut changer sa valeur lorsque la position de l'état traverse les frontières. Ce nouveau cadre nous permet de traiter des systèmes de contrôle qui incluent des régions de perte contrôle, ce qui constitue notre motivation initiale. Dans ce type de système, étant donné une partition de l'espace d'état, le comportement du contrôle varie en fonction de la position de l'état. Il peut être modifié à tout moment (appelé contrôles permanents) lorsque l'état appartient à des régions appelées régions de contrôle, ou il peut rester constant lorsque l'état appartient à des régions appelées régions de perte contrôle. Dans les deux cadres, nos objectifs sont les suivants: premièrement, dériver un principe maximum hybride spatial (abrégé en HMP) avec un paramètre régional ; deuxièmement, dériver un principe maximum de Pontryagin avec des régions de perte de contrôle ; et troisièmement, fournir une approche numérique permettant de résoudre des problèmes de contrôle optimal avec des régions de perte de contrôle. Pour atteindre ces objectifs, nous introduisons de nouveaux outils et concepts qui répondent à certains défis qui peuvent survenir dans un cadre spatial hybride. En particulier, nous identifions deux défis principaux: la non-admissibilité des perturbations en-aiguille et l'incapacité d'appliquer directement la technique d'augmentation bien connue dans un cadre spatial hybride.
Keywords
optimal control
necessary optimality conditions
Pontryagin maximum principle
transversality conditions
sensitivity analysis
needle-like perturbation
regionally switching parameter
loss control regions
hybrid systems
heterogeneous dynamics
hybrid maximum principle
augmentation technique
local minimum
direct method
indirect method
shooting method.
contrôle optimal
conditions nécessaires d'optimalité
principe maximum de Pontryagin
conditions de transversalité
analyse de sensibilité
perturbation en aiguille
paramètre régional
régions de perte de contrôle
systèmes hybrides
dynamiques hétérogènes
principe maximum hybride
technique d'augmentation
minimum local
méthode directe
méthode indirecte
méthode de tir.
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