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Thèse Année : 2023

Mean-field limits in fluid mechanics and kinetic theory

Limites de champ moyen en mécanique des fluides et théorie cinétique

Matthieu Menard
  • Fonction : Auteur
  • PersonId : 1403866
  • IdRef : 279516908

Résumé

In this thesis we study the statistical behaviour of several particle systems related to fluid dynamics. Namely we are interested in the following problem: Prove the convergence of a system modeling the evolution of a finite number of particles to a system modeling the evolution of a continuous density when the number of particles becomes very large. We consider "mean-field" models, for which particles are subjected to a long range interaction potential.In Chapter 1 we introduce the models and the main results studied in this thesis. Then we provide an overview of the previous works that have investigated mean-field limits and we explain the main ideas of the "modulated energy method" introduced by Duerinckx and Serfaty in [81], which will be the main tool used in chapters 2 and 3. Finally we give more details about the main results of this thesis and we describe the main arguments used for the proofs of these results.In Chapter 2 we study a system of partial differential equations modeling the interaction between an incompressible inviscid fluid and a dispersed phase of solid particles subjected to a gyroscopic force. We show the local well-posedness of strong solutions of these equations and we derivate them as the mean-field limit of a model describing the evolution of a finite number of solids in a fluid. The results of this chapter are the content of [67].In Chapter 3 we investigate the mean-field limits of a system modeling the evolution of small vortices in a lake of non-constant topography. The results of this chapter are the content of [68].
On étudie dans cette thèse le comportement statistique de plusieurs systèmes de particules issus de la mécanique des fluides. Plus précisément, on s'intéresse au problème-type suivant : justifier la convergence d'un système modélisant l'évolution d'un nombre fini de particules vers un système modélisant l'évolution d'une densité continue lorsque le nombre de particules devient grand. On considère des modèles de "champ moyen", c'est à dire des modèles où les interactions entre les particules sont à "longue portée". Au Chapitre 1 on introduit les différents modèles étudiés et les résultats principaux de la thèse, puis on présente un historique des différents travaux traitant des limites de champ moyen dans la littérature ainsi que la "méthode d'énergie modulée" introduite par Duerinckx et Serfaty dans [81] qui sera le principal outil utilisé dans les chapitres 2 et 3. Enfin, on donne davantage de précisions sur les résultats principaux de ce manuscrit et on détaille les arguments utilisés pour les démontrer.Dans le Chapitre 2 on étudie un système d'équations aux dérivées partielles modélisant l'interaction entre un fluide incompressible non visqueux et une densité continue de solides plongés dans ce fluide et soumis à un effet gyrocinétique. On montre le caractère localement bien posé en temps des solutions fortes de ces équations puis on les obtient comme limite de champ moyen d'un modèle décrivant l'évolution d'un nombre fini de solides plongés dans un fluide. Les résultats de ce chapitre correspondent à l'article [67]. Dans le Chapitre 3 on s'intéresse aux limites de champ moyen d'un système modélisant l'évolution de petits tourbillons ou "points vortex" dans un lac de profondeur non constante. Les résultats de ce chapitre correspondent à l'article [68].
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Origine Version validée par le jury (STAR)

Dates et versions

tel-04658511 , version 1 (22-07-2024)

Identifiants

  • HAL Id : tel-04658511 , version 1

Citer

Matthieu Menard. Mean-field limits in fluid mechanics and kinetic theory. Fluid mechanics [physics.class-ph]. Université Grenoble Alpes [2020-..], 2023. English. ⟨NNT : 2023GRALM083⟩. ⟨tel-04658511⟩
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