Discrete time Hawkes processes with inhibition
Processus de Hawkes en temps discret avec inhibition
Abstract
This thesis focuses on Hawkes processes, which are continuous-time stochastic processes whose intensity is random and depends on the entire history of the process. These processes were introduced by Hawkes (1971) to model self-exciting dynamics. A generalization of these processes involves incorporating a self-inhibition effect, for which the literature is more limited and notably lacks a necessary and sufficient criterion for the existence of a stationary version that truly accounts for the inhibitory effect of the model. In the first chapter, we conduct a numerical analysis on the simulation of the solution to a nonlinear renewal equation, which is closely related to the expectation of the conditional intensity of a Hawkes process. Additionally, we present examples of simulations of these processes in settings that do not meet the previously mentioned criterion, thereby illustrating the restrictive nature of this criterion. Next, we focus more specifically on a discrete version of Hawkes processes with inhibition. This model takes the form of an autoregressive Poisson process, where the parameter is random and depends on the past realizations of the process. We allow these parameters to take negative values to model an inhibitory effect. The second chapter examines the case where the memory of this process is of size 2. In this context, we classify the asymptotic behavior of this process for the whole range of parameters, except for boundary cases. To achieve these results, we use the formalism of Markov chains as described by Douc, Moulines and Priouret (2018), and employ Foster's (1953) criterion-type theorems via Lyapunov functions. We also take advantage of comparing the behavior of this process with the behavior of solutions to a naturally associated linear recurrence sequence. In the third chapter, we extend our study to the case where the memory of the process is of size 3, and provide some results in the general case of arbitrarily large memory. We complement our theoretical study with numerical simulations to support our conjectures and provide intuition about the long-term behavior of this process. The final chapter is ongoing work on the critical cases of the studied process. We notably use diffusion approximation tools from the book by Ethier and Kurtz (1986). We show that after an appropriate time and space rescaling, the process converges to a diffusion governed by a stochastic differential equation, which we explicitly describe.
Cette thèse porte sur les processus de Hawkes, qui sont des processus stochastiques à temps continu dont l'intensité est aléatoire et dépend de l'historique complet du processus. Ces processus ont été introduits par Hawkes (1971) pour modéliser une dynamique auto-excitante. Une généralisation de ces processus consiste à intégrer un effet d'auto-inhibition, pour laquelle la littérature est plus réduite et souffre notamment de l'absence d'un critère nécessaire et suffisant d'existence d'une version stationnaire prenant véritablement en compte l'effet inhibiteur du modèle. Dans un premier chapitre, nous effectuons une analyse numérique portant sur la simulation de la solution d'une équation de renouvellement non-linéaire, ayant un lien fort avec l'espérance de l'intensité conditionnelle d'un processus de Hawkes. En outre, nous présentons des exemples de simulation de ces processus dans des cadres ne respectant pas le critère mentionné précédemment, illustrant ainsi la nature restrictive de ce dernier. Dans la suite, nous nous concentrons plus spécifiquement sur une version discrète des processus de Hawkes avec inhibition. Ce modèle se présente sous la forme d'un processus auto-régressif de Poisson, où le paramètre est aléatoire et dépend des réalisations passées du processus. Nous permettons à ces paramètres de prendre des valeurs négatives pour modéliser un effet inhibiteur. Le deuxième chapitre porte sur le cas où la mémoire de ce processus est de taille 2. Dans ce cadre, nous classifions intégralement le comportement asymptotique de ce processus en fonction des paramètres du modèle, à l'exception des cas frontières. Pour mener à bien ces résultats, nous utilisons le formalisme des chaines de Markov tel que décrit par Douc, Moulines, Priouret (2018), et nous servons de théorèmes type critère de Foster (1953) via des fonctions de Lyapunov. Nous tirons également parti de la comparaison entre le comportement de ce processus avec le comportement des solutions d'une suite récurrente linéaire naturellement associée au modèle. Dans le troisième chapitre, nous étendons notre étude au cas où la mémoire du processus est de taille 3, en donnant quelques résultats dans le cas général d'une mémoire de taille arbitrairement grande. Nous complétons notre étude théorique par des simulations numériques permettant d'étayer nos conjectures et donner une intuition sur le comportement en temps long de ce processus. Le dernier chapitre est un travail en cours autour des cas critiques du processus étudié. On utilise notamment des outils d'approximation de diffusions issus du livre d'Ethier et Kurtz (1986). Nous montrons qu'après un changement adéquat d'échelle et de temps, le processus converge vers une diffusion dirigée par une EDS que nous explicitons.
| Origin | Version validated by the jury (STAR) |
|---|