Distinction and detection problems in graphs
Problèmes de distinction et de détection dans les graphes
Résumé
This thesis deals with two independent areas of graph theory. In the first part, we study irregularity of graphs, as an antonym to regularity. We focus on several established ways to distinguish adjacent vertices by their degrees. While some graphs naturally have the property of having any pair of adjacent vertices distinct degree-wise, it is not always the case. We introduce ways to label the edges of a graph so that, instead of considering the degree of a vertex, we consider a function of the labels of its incident edges. We call it resulting sum, which we ask to be different for any pair of adjacent vertices. In the area of the 1-2-3 Conjecture, introduced by Karoński et al., labels are either 1, 2, or 3, and the resulting sum of a vertex is the sum of the labels of its incident edges. The 1-2-3 Conjecture asks whether, for any connected graph other than K2, it is possible to find a labelling of its edges so that the resulting sums of any two adjacent vertices are different. Another way to make a graph “irregular” is to decompose it into locally irregular graphs, where we partition the edges of the graph so that each part induces a locally irregular graph. By adjusting the resulting sum definition, labels, and the distinction condition, we are able to define several other distinction problems. We also introduce new ones, and prove connections between them using a unified formalism. In Chapter 2, we decompose graphs into strongly locally irregular graphs, where each part induces a graph where the degrees of any two adjacent vertices differ by at least 2. In Chapter 3, we study a generalisation of decompositions into locally irregular graphs and edge-labellings, which was introduced by Baudon et al. Finally, in Chapter 4, we extend the definition of edge-labellings to signed graphs, and give a formalism for the distinction problems of this thesis, which we use to give unified statements and results. In the second part, we monitor networks for faults, where networks are represented as graphs. Introduced by Foucaud et al., a monitoring edge-geodetic set (MEG-set for short) of a graph is a set of probes on nodes (vertices) that “ping” each other (measure their distance to each another). We also ask that probes be placed in such a way that, if there is a connection failure in the network (an edge is deleted), then pings between some two probes will change (the distance will increase). This notion belongs to the family of metric parameters, which is a set of ways to detect events in a graph using distances between vertices. We investigate several questions around MEG-sets. Since probes are expensive, we want to minimise their number. This problem is NP-hard, so we first look at graphs with a certain structure. In Chapter 6, we focus on graphs with a unique minimum MEG-set. We prove properties of the intersection of all MEG-sets of a graph, which leads us to polynomial-time algorithms for computing minimum MEG-sets of several classes of graphs. In Chapter 7, we prove that although finding a minimum MEG-set is NP-hard, it is also fixed-parameter tractable when parameterised by clique-width plus diameter of the input graph. We also provide an algorithm that yields a MEG-set that is larger than the optimal size by a factor logarithmic of the order of the input graph, but runs in polynomial time. We also prove that no such algorithm exists for a constant approximation factor. Finally, in Chapter 8, we introduce MAG-sets as an analogue to MEG-sets on oriented graphs, and begin the study of this parameter for several classes of graphs. We also introduce two decision problems. One is to find the size of a minimum MAG-set; the other is to find an orientation of a graph such that the minimum MAG-set is the whole vertex set. We prove that both problems are NP-hard.
Cette thèse traite de deux domaines à part en théorie des graphes. Dans la première partie, nous étudions l’irrégularité des graphes comme antonyme de la régularité. Nous nous concentrons sur des façons établies de distinguer les sommets adjacents par leurs degrés. Seuls certains graphes ont la propriété d’avoir toute paire de sommets adjacents de degrés distincts. Nous introduisons des façons d’étiqueter les arêtes d’un graphe, et considérons une fonction des étiquettes de ses arêtes incidentes au lieu du degré. Nous l’appelons somme résultante, et demandons qu’elle soit différente pour toute paire de sommets adjacents. Dans le domaine de la 1-2-3 Conjecture, introduite par Karoński et al., les étiquettes sont 1, 2, ou 3, et la somme résultante d’un sommet est la somme des étiquettes de ses arêtes incidentes. La 1-2-3 Conjecture dit que tout graphe connecté autre que K2 peut être étiqueté, de sorte que les sommes résultantes de deux sommets adjacents soient distinctes. Une autre façon de rendre un graphe “irrégulier” est de le décomposer en partitionnant les arêtes pour que chaque part induise un graphe localement irrégulier. En ajustant la définition de somme résultante, les étiquettes et la condition de distinction, nous pouvons définir d’autres problèmes de distinction. Nous en introduisons de nouveaux et prouvons des liens entre eux. Dans le Chapitre 2, nous décomposons les graphes en graphes fortement localement irréguliers, où chaque part induit un graphe où les degrés de deux sommets adjacents diffèrent d’au moins 2. Dans le Chapitre 3, nous étudions une généralisation des décompositions localement irrégulières et des étiquetages d’arêtes, introduite par Baudon et al. Dans le Chapitre 4, nous étendons la définition d’étiquetages aux graphes signés, et nous donnons un formalisme pour les problèmes de distinction de cette thèse, que nous utilisons pour donner des énoncés et des résultats unifiés. Dans la deuxième partie, nous surveillons les réseaux pour détecter les défaillances, où les réseaux sont représentés par des graphes. Introduit par Foucaud et al., un ensemble de surveillance d’arêtes (MEG-set) d’un graphe est un ensemble de sondes sur les noeuds (sommets) qui se “ping” les unes les autres (mesurent leur distance les uns aux autres). Nous demandons également que les sondes soient placées de sorte que, s’il y a une défaillance dans le réseau (une arête est supprimée), les pings entre deux sondes changent (la distance augmente). Cette notion appartient à la famille des paramètres métriques, qui regroupe des façons de détecter des évènements dans un graphe en utilisant les distances entre les sommets. Nous étudions plusieurs questions relatives aux MEG-set. Les sondes étant coûteuses, nous voulons minimiser leur nombre. Ce problème étant NP-dur, nous étudions des graphes particuliers. Dans le Chapitre 6, nous étudions les graphes ayant un seul MEG-set minimal. Nous prouvons des propriétés de tous les MEG-set d’un graphe, qui donnent des algorithmes en temps polynomial pour calculer les MEG-set minimaux de plusieurs classes de graphes. Au Chapitre 7, nous prouvons que, si la recherche d’un MEG-set minimal est NP-dure, elle est FPT en la largeur de clique plus le diamètre du graphe d’entrée. Nous donnons aussi un algorithme qui produit un MEG-set plus grand que l’optimal par un facteur logarithmique de l’ordre du graphe d’entrée, mais qui s’exécute en temps polynomial. Nous prouvons aussi qu’un tel algorithme n’existe pas pour un facteur d’approximation constant. Enfin, dans le Chapitre 8, nous introduisons les MAG-set comme analogues aux MEG-set sur les graphes orientés, et les étudions pour plusieurs classes de graphes. Nous introduisons aussi deux problèmes de décision. L’un consiste à trouver la taille d’un MAG-set minimal, l’autre à trouver une orientation d’un graphe telle que le seul MAG-set soit l’ensemble des sommets. Nous prouvons que ces problèmes sont NP-durs.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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