Existence, instability and energy partition for linear or nonlinear evolution equations issued from fluid mechanics
Existence, instablité et répartition de l'énergie pour des équations d'évolution linéaires ou non linéaires issues de la mécanique des fluides
Résumé
This thesis contains three themes: microlocal partition of energy, the virial theorem, and the well-posedness of jet flows. The first theme explores how the energy of solutions to dispersive equations is equally distributed inside and outside the light cone. This phenomenon has been frequently used to study the long-term behavior of (non)linear wave equations. We will extend it to a large class of linear dispersive equations, replacing the light cone by a hypersurface in phase space and characterizing the energy partition via pseudo-differential operators. The second theme examines the equipartition of kinetic and potential energies for two-phase water-wave systems. This study leads to a quantitative description of the instability of the system when the lower fluid is no denser than the upper one, which is known as the Rayleigh-Taylor instability and the Kelvin-Helmoltz instability. The third theme addresses the Cauchy problem of the evolution of cylindrical fluids with free boundary, namely jets. We establish the local well-posedness theory for this evolution equation in Sobolev spaces without any symmetric assumptions. This result constitutes a fundamental step towards understanding the long-term behaviour of jet flows.
Cette thèse contient trois thèmes : la partition microlocale de l'énergie, le théorème du viriel, et le caractère bien posé des écoulements de jet. Le premier thème concerne la manière dont l'énergie des solutions des équations dispersives est distribuée également à l'intérieur et à l'extérieur du cône de lumière. Ce phénomène a été fréquemment utilisé pour étudier le comportement à long terme des équations d'ondes (non) linéaires. Nous l'étendrons à une grande classe d'équations dispersives linéaires, en remplaçant le cône de lumière par une hypersurface dans l'espace des phases et en caractérisant la partition de l'énergie via des opérateurs pseudo-différentiels. Le deuxième thème examine l'équipartition des énergies cinétique et potentielle pour les systèmes de vagues d'eau à deux phases. Cette étude conduit à une description quantitative de l'instabilité du système lorsque le fluide supérieur est plus dense que le fluide inférieur, ce qui est connu comme l'instabilité de Rayleigh-Taylor et l'instabilité de Kelvin-Helmoltz. Le troisième thème traite du problème de Cauchy pour l'évolution des fluides cylindriques à frontière libre, à savoir les jets. Nous établissons le caractère localement bien posé pour cette équation d'évolution dans les espaces de Sobolev sans aucune hypothèse de symétrie. Ce résultat constitue une étape fondamentale vers la compréhension du comportement à long terme des écoulements de jets.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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