Stochastic super-resolution and inverse problems : from Gaussian conditional sampling to diffusion models
Super-résolution stochastique et problèmes inverses : de l'échantillonnage conditionnel gaussien aux modèles de diffusion
Résumé
This thesis investigates the stochastic resolution of inverse problems in imaging, through Gaussian conditional sampling and diffusion models. It primarily focuses on super-resolution, which aims to enhance the resolution of an image from a low-resolution version, and deblurring, which seeks to restore the sharpness of a blurred image.In contrast to classical deterministic approaches, we adopt a probabilistic perspective, with the goal of modeling and sampling the set of plausible images consistent with a degraded observation.The objective is to study this paradigm within a mathematically rigorous and well-founded framework. To this end, we examine Gaussian image distributions, including Gaussian microtextures associated with the Asymptotic Discrete Spot Noise (ADSN) model.We formulate the problem in a Bayesian framework, emphasizing the challenges related to conditional sampling in the Gaussian setting. We then discuss recent advances in generative modeling, particularly diffusion probabilistic models (DDPMs), which involve reversing a progressive noising process using a learned model. More specifically, we first study, via a kriging-based reasoning, the exact sampling of inverse problems for Gaussian microtextures, with a particular focus on super-resolution. This leads to the construction of an efficient and exact sampler within this restricted setting.Next, we investigate diffusion models applied to Gaussian distributions in a generative context, in order to assess their ability to provide a meaningful prior distribution over images. By leveraging the reformulation of diffusion models as stochastic differential equations (SDEs), we derive the governing equations in the linear and Gaussian case, and analyze their properties.This allows us to establish explicit results on sampling errors, notably in terms of Wasserstein distances, and to gain a better understanding of the nature of the approximations induced by the models used.Finally, we study algorithms for solving inverse problems based on diffusion models in the context of Gaussian microtexture deblurring. This enables us to highlight undesired behaviors of a sampler intended to approximate the theoretical posterior distribution.
Cette thèse étudie la résolution stochastique des problèmes inverses en imagerie, à travers l'échantillonnage conditionnel gaussien et les modèles de diffusion. Elle s'intéresse principalement à la super-résolution, qui consiste à améliorer la résolution d'une image à partir d'une version basse résolution, ainsi qu'au déflouage, qui vise à restaurer la netteté d'une image floue. Contrairement aux approches déterministes classiques, nous adoptons une perspective probabiliste dont le but est de modéliser et d'échantillonner l'ensemble des images plausibles compatibles avec une observation dégradée de l'image.L'objectif est d'étudier ce paradigme dans un cadre mathématique rigoureux et bien fondé. Pour cela, nous étudions les distributions gaussiennes d'images, qui incluent les microtextures gaussiennes associées au modèle Asymptotic Discrete Spot Noise (ADSN).Nous formulons le problème dans un cadre bayésien, en mettant en avant les enjeux liés à l'échantillonnage conditionnel dans le contexte gaussien. Nous discutons ensuite des modèles génératifs récents, et en particulier des modèles de diffusion probabilistes (DDPM), qui consistent à inverser un processus de bruitage progressif à l'aide d'un modèle appris.Plus précisément, dans un premier temps, nous étudions, par un raisonnement de krigeage, l'échantillonnage exact de problèmes inverses pour les microtextures gaussiennes, avec un accent particulier sur la super-résolution. Cela nous a permis de construire un échantillonneur efficace et exact dans ce cadre restreint.Ensuite, nous étudions les modèles de diffusion appliqués aux distributions gaussiennes dans un cadre génératif, afin d'évaluer leur capacité à fournir une distribution a priori sur les images. En exploitant la reformulation des modèles de diffusion comme équations différentielles stochastiques (SDE), nous dérivons les équations en jeu dans le cas linéaire et gaussien, et en étudions les propriétés.Cela nous permet d'établir des résultats explicites sur les erreurs d'échantillonnage, notamment en termes de distances de Wasserstein, et de mieux comprendre la nature des approximations induites par les modèles utilisés. Enfin, nous étudions les algorithmes de résolution des problèmes inverses liés aux modèles de diffusion, dans le cadre du déflouage de microtextures gaussiennes. Cela nous permet de mettre en évidence des comportements non souhaités d'un échantillonneur censé approximer la probabilité a posteriori théorique.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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