Thèse Année : 2025

Nonconformal Finite Element methods applied to the real time design of digital twins of organs

Méthodes Éléments Finis non-conformes adaptées à la conception en temps réel de jumeaux numériques d'organes

Résumé

ϕ-FEM is a new finite element method, proposed to solve partial differential equations on complex domains, using simple non-conforming meshes. The method relies on the use of a level-set function ϕ, which defines the domain and its boundary. In this manuscript, we recall the method in the simple case of the resolution of the Poisson equation with Dirichlet boundary conditions. We further propose a new way to treat this problem with a penalized version of the method, which provides optimal convergence. Then, we extend our study beyond this simple case, and we propose a numerically optimal ϕ-FEM scheme to solve the Poisson equation with mixed Dirichlet/Neumann boundary conditions. We also propose different schemes to treat the Heat equation, linear elasticity equation and hyperelastic problems. The rest of the manuscript is devoted to the presentation of different evolutions of ϕ-FEM. We first propose a Finite Difference scheme based on the ϕ-FEM paradigm. To provide a real-time method, we then explore the combination of ϕ-FEM with Neural Operators, where we propose ϕ-FEM-FNO, which is capable of predicting precise results much faster than FEM based methods. Finally, in the idea of providing opening evolutions, we propose two combinations with the multigrid approach: one based only on ϕ-FEM, the second on ϕ-FEM-FNO. The proposed results open many interesting perspectives and challenges for ϕ-FEM.

ϕ-FEM est une nouvelle méthode éléments finis, proposée pour résoudre des équations aux dérivées partielles sur des domaines complexes, en utilisant des maillages simples non-conformes. La méthode repose sur l’utilisation d’une fonction level-set ϕ, décrivant le domaine et sa frontière. Dans ce manuscrit, nous rappelons d’abord la méthode appliquée à la résolution du problème de Poisson avec conditions de Dirichlet. Nous proposons ensuite une nouvelle façon de traiter ce problème avec une version pénalisée de la méthode, offrant une convergence optimale. Par la suite, nous étendons notre étude à des problèmes complexes et nous proposons en particulier un schéma ϕ-FEM numériquement optimal pour résoudre le problème de Poisson avec conditions mixtes Dirichlet/Neumann. Nous proposons également différents schémas ϕ-FEM permettant de résoudre l’équation de la chaleur ou des problèmes d’élasticité linéaire et non linéaire. La suite du manuscrit est dédiée à la présentation de plusieurs évolutions de ϕ-FEM. Dans un premier temps, nous proposons un schéma aux différences finies basé sur l’approche ϕ-FEM. Pour obtenir une méthode temps réel, nous explorons ensuite la combinaison de ϕ-FEM avec les opérateurs neuraux, où nous proposons ϕ-FEM-FNO, capable de prédire des résultats précis beaucoup plus rapidement que les méthodes éléments finis. Finalement, dans l’idée de proposer diverses pistes d’évolutions, nous proposons deux combinaisons avec l’approche multigrid : l’une basée uniquement sur ϕ-FEM, l’autre sur ϕ-FEM-FNO. Les résultats proposés ouvrent alors de nombreux challenges et perspectives pour ϕ-FEM.

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Killian Vuillemot. Méthodes Éléments Finis non-conformes adaptées à la conception en temps réel de jumeaux numériques d'organes. Equations aux dérivées partielles [math.AP]. Université de montpellier, 2025. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-05469006⟩
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