Conditioning and penalization of marked galton-watson trees
Conditionnement et pénalisation d'arbres de galton-watson marqués
Résumé
The Galton-Watson process is a very simple model of population evolution where each individual reproduces randomly and independently of all others according to the same given distribution. It is well known that in the case where the average number of offspring per individual is less than 1 (sub-critical or critical case), the population becomes extinct in finite time. Many authors have focused on the description of this population (more precisely, the genealogical tree associated with it) under the condition that it reaches an abnormally large size. From a mathematical point of view, this consists in conditioning the distribution of the tree T by some event of the form {A(T)=n} where A is a functional of the tree T (for instance, A(T) is the height of the last surviving generation, or the total number of individuals in the population,...) and to study the limit (in distribution) of the tree when n tends to infinity. In a recent paper of Abraham, Bouaziz and Delmas, the authors explored alternative types of conditioning involving an additional source of randomness. In their paper, each individual is randomly marked with a probability depending on their number of children. They then conditioned the tree on the event "The number of marked individuals is equal to n". By adapting techniques from the classical framework, they obtained the limiting distribution of the conditioned tree in the critical case. Part of my PhD research extends this work to the sub-critical regime. Rather than studying the limiting distribution of the tree T, my focus is on the marked tree with its marks, allowing me to describe its asymptotic behavior in both critical and sub-critical cases. These results were obtained under certain regularity assumptions on both the offspring distribution and the marking mechanism. The second part of my thesis investigates a different approach to generating trees with an unusual number of marked vertices. One natural method is to perform a change of measure using a martingale, through a Girsanov-type transformation. To find such a martingale, I used a general method called penalization, introduced by Roynette, Vallois, and Yor in 2006 for Brownian motion. I adapt this method to the discrete tree setting by biasing the distribution of the tree according to a function of the number of marks, either favoring or disfavoring them, and then analyzing the obtained trees under this new probability measure. I treated all three regimes: sub-critical, critical, and supercritical (where the average number of offspring per individual exceeds 1). In the critical and supercritical cases, I recovered known limiting objects. In contrast, the sub-critical case led me to identify a new limiting structure, which I refer to as the "weighted tree". This is a multi-type marked tree, characterized by a notion of mass that is transmitted from one generation to the next. Note that, it does not correspond to a marked Galton-Watson tree.
Le processus de Galton-Watson est un modèle très simple d'évolution de population où chaque individu se reproduit aléatoirement et indépendamment de tous les autres selon une même loi fixée. Il est connu que dans le cas où le nombre moyen d'enfants par individu est inférieur ou égal à 1 ( sous-critique ou critique), la population s'éteint en temps fini presque sûrement. Certains auteurs ont décrit cette population (ou plutôt l'arbre généalogique associé) lorsqu'elle est anormalement grande et ont mis en évidence l'évènement exceptionnel permettant d'obtenir ce comportement particulier. D'un point de vue mathématique, cela consiste à conditionner la loi de l'arbre T par un évènement de la forme {A(T)=n} où A est une fonctionnelle de l'arbre T (par exemple, A(T) est la dernière génération survivante, ou bien le nombre total d'individus dans la population,...) et à regarder la limite (en loi) lorsque n tend vers l'infini. Dans un récent travail, Abraham, Bouaziz et Delmas ont considéré d'autres types d'évènements faisant intervenir une source d'aléa supplémentaire. Dans leur article, chaque individu est marqué aléatoirement avec une probabilité dépendant de son nombre d'enfants. Ils ont conditionné par l'évènement "Le nombre d'individus marqués est égal à n". En utilisant des techniques similaires aux cas classiques, ils ont obtenu la limite en loi de l'arbre conditionné dans le cas critique. Une partie de ma thèse poursuit ce travail pour obtenir des résultats dans le cas sous-critique. Ainsi, j'ai pu décrire la limite en loi de l'arbre marqué dans les cas critique et sous-critique, sous certaines conditions de régularité concernant la loi de reproduction et la loi de marquage. Une deuxième partie de ma thèse consiste à considérer une autre façon d'obtenir des arbres avec un nombre anormal de sommets marqués. Une technique possible est de faire un changement de mesure via une transformation de Girsanov avec une martingale. Afin de trouver une telle martingale, nous avons utilisé une méthode générale appelée pénalisation qui a été introduite par Roynette, Vallois et Yor en 2006 pour le mouvement Brownien. J'ai adapté cette technique dans le cadre des arbres discrets. En effet, j'ai biaisé la loi de l'arbre par une fonction du nombre de marques, qui soit les favorise, soit les défavorise, et j'ai décrit l'arbre obtenu sous cette nouvelle loi. J'ai traité les trois cas possibles, sous-critique, critique et sur-critique (le nombre moyen d'enfants par individu est strictement supérieur à 1). Dans les deux derniers cas, j'obtiens des arbres limites déjà connus, tandis que dans le premier cas, je décris un nouvel arbre, que l'on nommera "arbre à poids". Ce dernier est un arbre multi-type marqué, caractérisé par une notion de masse se transmettant de génération en génération. Il faut noter que, cet arbre n'est pas un arbre de Galton-Watson marqué.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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