Inégalités de Sobolev logarithmiques et hypercontractivité en mécanique statistique et en E.D.P. - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2001

Logarithmic Sobolev inequalities and hypercontractivity in statistical mechanics and E. D. P.

Inégalités de Sobolev logarithmiques et hypercontractivité en mécanique statistique et en E.D.P.

Ivan Gentil

Résumé

In this thesis we are interested in functional inequalities as inequalities of Poincaré, logarithmic Sobolev, Sobolev, and the so called inequalities of transport. At first, we study the inequalities of Poincaré and logarithmic Sobo\-lev for models of statistical mechanics. We then propose a new class of phases such that the associated Gibbs measure satisfy these two inequalities. In a 2nd part, the inequalities of logarithmic Sobolev and Sobolev are explored via Hamilton-Jacobi's equations. We show, in a similar way as Gross did in 1975 for diffusions semigroups, the equivalence between the inequality of logarithmic Sobolev and the hypercontractivity of Hamilton-Jacobi's equations. This equivalence allows to show, using a new method proposed by Otto and Villani, that the inequality of logarithmic Sobolev implies a quadratic inequality of transport. In the same way as Varopoulos in 1985 for the diffusions semigroups, we establish the link between the Sobolev's inequality and ultracontractivity of the Hamilton-Jacobi's equations. Finally, we study the inequalities of transport in a general frame. This study allows on one hand to give the link between inequalities of modified logarithmic Sobolev and some particular inequalities of transport, and on the other hand to give an example of quadratic inequality of transport for a measure in infinite dimension, namely the Wiener's measure.
Dans cette thèse nous nous intéressons à des inégalités fonctionnelles comme les inégalités de Poincaré, Sobolev logarithmique, Sobolev, et celles appelées inégalités de transport. Dans un premier temps, nous étudions les inégalités de Poincaré et de Sobolev logarithmique pour des modèles de mécanique statistique. Cette étude nous permet de donner une nouvelle classe de phases telle que les mesures de Gibbs associées satisfassent à ces deux inégalités. Nous étudions dans un second temps, les inégalités de Sobolev logarithmique et de Sobolev par le biais des équations de Hamilton-Jacobi. Nous montrons, de la même façon que Gross en 1975 pour les semi-groupes de diffusion, l'équivalence entre l'inégalité de Sobolev logarithmique et l'hypercontractivité des solutions des équations de Hamilton-Jacobi. Cette équivalence permet de montrer, par une nouvelle méthode que celle utilisée par Otto et Villani, que l'inégalité de Sobolev logarithmique implique une inégalité de transport quadratique. De la même manière que Varopoulos en 1985 pour les semi-groupes de diffusion, nous donnons le lien entre l'inégalité de Sobolev et l'ultracontractivité des solutions des équations de Hamilton-Jacobi. Pour finir nous étudions les inégalités de transport dans un cadre général. Cette étude permet d'une part de donner le lien entre des inégalités de Sobolev logarithmiques modifiées et des inégalités de transport particulières et d'autre part de donner un exemple d'inégalité de transport quadratique pour une mesure en dimension infinie, la mesure de Wiener.
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tel-00001145 , version 1 (26-02-2002)

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Citer

Ivan Gentil. Inégalités de Sobolev logarithmiques et hypercontractivité en mécanique statistique et en E.D.P.. Mathématiques [math]. Université Paul Sabatier - Toulouse III, 2001. Français. ⟨NNT : 2001TOU30131⟩. ⟨tel-00001145⟩
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