Contribution d'orbites périodiques diffractives à la formule de trace - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2002

Contribution d'orbites périodiques diffractives à la formule de trace

Luc Hillairet

Résumé

The trace formula is a relation between the lengths of the periodic geodesic of a riemannian compact manifold and the spectrum of the laplacian ; it is therefore a useful tool for the study of the inverse spectral problem. We show here the va lidity of such a formula in two settings where punctual singularities occur. In both cases, we use the wave equation and the propagation of singularities to prove the trace formula. On a riemmanian $3-$dimensional manifold, we consider a Dirac potential located at a point $p$. It means that we define the laplacian on $\Cinf(M \sans \{ p\})$ and that we take another selfadjoint extension than the usual one. We then construct the propagator of the wave equation, showing that it reflects multiple diffractions at $p$. The propagation of singularities and the trace formula are deduced from this construction. We show in particular that curves consisting of successive geodesic paths joigning $p$ to $p$ contribute to the trace formula, and we compute the principal part of such a contribution. On a euclidean surface with conical singularities, we have first to redefine the geodesics in order to allow diffractions at conical points. The neighborhood of a geodesic $g$ in the set of all geodesics of same length, is described by a natural number (that we call ``classical complexity'') that we compute according to the angles of diffraction along $g$. We then show that the propagation of singularities involve these generalized geodesics. Periodic diffractive geodesic contribute to the trace formula, and under some hypothesis we compute the principal part of these contributions.
La formule de trace est un outil privilégié pour l'étude du problème spectral inverse puisqu'elle établit, sur une variété riemannienne compacte, une relation entre le spectre du laplacien et les longueurs des géodésiques périodiques. Cette thèse étend ce type de formule dans deux situations présentant des singularités ponctuelles. Dans ces deux cas, on commence par étudier l'équation des ondes et par établir la propagation des singularités associée. Sur une variété $M$ de dimension $3$, on place un potentiel Dirac en un point $p$. Cela revient à considérer une extension autoadjointe du laplacien, défini sur ${\cal C}^\infty( M\backslash \{p\} )$, différente du laplacien riemannien de $M.$ Le propagateur de l'équation des ondes associée est construit en faisant apparaître des diffractions successives au point $p$, ce qui donne alors la propagation des singularités. La formule de trace en découle~; on montre notamment que les courbes obtenues en suivant successivement un ou plusieurs lacets géodésiques joignant $p$ à $p$ donnent une contribution dont on calcule la partie principale. Sur une surface euclidienne à singularités coniques, il faut commencer par étendre la notion de géodésique en admettant le passage par les points coniques. Au voisinage d'une géodésique $g$, la géométrie locale de l'ensemble des géodésiques (éventuellement) diffractives dépend d'un nombre (appelé {\it complexité classique\/}) que l'on relie à la suite des angles de diffractions le long de $g.$ On montre alors que la propagation des singularités se fait en suivant ces géodésiques généralisées. La trace fait alors apparaître la contribution de géodésiques périodiques diffractives dont on calcule la partie principale sous certaines hypothèses.
Fichier principal
Vignette du fichier
tel-00001664.pdf (3.38 Mo) Télécharger le fichier

Dates et versions

tel-00001664 , version 1 (05-09-2002)

Identifiants

  • HAL Id : tel-00001664 , version 1

Citer

Luc Hillairet. Contribution d'orbites périodiques diffractives à la formule de trace. Mathématiques [math]. Université Joseph-Fourier - Grenoble I, 2002. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00001664⟩
138 Consultations
88 Téléchargements

Partager

Gmail Facebook X LinkedIn More